Eine partielle Differenzialgleichung 
kann 1, 2, 3 • • • unabhängige Variablen 
haben ; die Gleichnng 2) hat s unabhän 
gige Variablen. 
II) Eine Differenzialgleichung heisst 
Iter, 2ter • • • u. s. w. wter Ordnung, 
wenn der höchste darin verkommende 
Differenzialquotient von der Iten, 2ten 
••• wten Ordnung ist. Die hier gege 
bene Gleichung 1) ist von der pten 
Ordnung. — Man kann aber auch von 
der Ordnung p einer Differenzialgleichung 
in Bezug auf eine bestimmte Variable 
y n sprechen. 
III) Auch werden die Differenzial 
gleichungen nach der Anzahl der in 
ihnen enthaltenen Variablen eingetheilt. 
Die Gleichung 1) enthält n + l Varia 
blen. Bei partiellen Differenzialgleichun 
gen muss hinzugefügt werden, wie viel 
unabhängige Variablen darunter sind. 
Gleichung 2) hat n-f s Variablen, worun 
ter s unabhängige. 
. Wir werden uns jetzt zunächst mit 
den totalen Differenzialgleichungen be 
schäftigen. 
Für dieselben gilt folgender wichtiger 
Lehrsatz: 
A) „Sei 
'1 = o 
eine Differenzialgleichung, welche die 
unabhängige Variable x, die abhängigen 
y t , y2 • • • y n und z enthält, die in 
Bezug auf y^,y 1 • • • y n von einer be 
liebigen, in Bezug auf z von der pten 
Ordnung ist, so ist diese Gleichung gleich 
bedeutend mit einem System von p-Dif- 
ferenzialgleichungen, die statt z die Va 
riablen z t , z 1 • • • z^ enthalten, und in 
() Vi 
. . . 
dy 
v n . . 
dx 1 
s 
dx, 
dx 9 
5 
bx\ 
d'y 
d Py 
. • n 
O/ 
«s 3 
iS 
II 
p 
dx 2 
s 
dxP 
dx 
s 
P / 
dz 
d 2 z 
dPz 
)=o, 
»■<*’ z? 
dx 2 
1 S- 
1 ■§ 
welche natürlich ausser z noch die 
Grössen x, y t • • ’ y n un d ’h re Diffe- 
renzialquotienten enthält, schreiben: 
p—1 
dx 
und die gegebene Gleichung nimmt dann 
die Gestalt an: 
dz , 
P 
dx 
Z 3 , 
Es sind dies in der That p Glei 
chungen, welche nur die ersten Differen 
zialquotienten der z enthalten. 
Hieraus folgt unmittelbar: 
B) „Jede Differenzialgleichung mit 
2 Variablen x und s, welche von der 
pten Ordnung ist, ist gleichbedeutend 
mit p Differenzialgleichungen, welche 
p+1 Variablen x, z t • • • z^ enthalten, 
und alle von der ersten Ordnung sind.“ 
Dieser Satz lässt sich aber auch um 
kehren. 
C) „Ein System von p Differenzial 
gleichungen mit p + 1 Variablen x, z t , 
2, ... z ist zurückzuführen auf eine 
2 P 
Gleichung mit 2 Variablen, welche aber 
von der pten Ordnung ist.“ 
Um dies zu beweisen, nehmen wir an, 
das gegebene System sei: 
P dx ’ dx