Quadraturen — Zurückf. auf. 402 Quadraturen — Zurückf. auf. 
3) lieber ei n c Glei chung ers ter 
Ordnung mit 2 Variablen. 
Lehrsatz, Jede Differenzialglei 
chung von der Gestalt 
1) dy=f(x,y) dx 
lässt sich auflösen durch einen Ausdruck 
von der Gestalt 
y(x, y, {¿) = 0, oder: y = rp(x, a) 
oder: % (x, y) — er. 
Offenbar lässt sich nämlich jeder dieser 
3 Ausdrücke auf die Form der beiden 
andern bringen. 
« ist eine willkürliche Constante, die 
man der Art bestimmen kann, dass man 
y für einen gegebenen Zahlenwerth von 
x einen beliebigen Werth annehmen 
lässt. 
Die so gefundene Gleichung heisst 
Integralgleichung. Im engem Sinne 
aber wird der Ausdruck x, y) selbst, 
welcher in der letzten der 3 Formen 
gleich einer Constante « war, Integral 
genannt. Es lässt sich also ein Integral 
der Gleichung 1) auch definiren als eine 
Function von x und y, welche durch 
die Gleichung 1) einer Constante gleich 
wird. 
Wir beweisen den obigen wichtigen 
Satz, indem wir die gegebene Differen 
zialgleichung einer ähnlichen Betrachtung 
wie der, welche die allgemeinen Eigen 
schaften der Quadraturen ergeben, un 
terziehen. 
Seien x 0 , Xu x 2 • • . x solche im 
Uebrigen beliebige Werthe von x, von 
denen jeder sich nur unendlich wenig 
von dem vorhergehenden unterscheidet, 
sind ferner y 0 , y u y. z ... y g die zu 
gehörigen Werthe von y, welche ent 
stehen, wenn man y als Function von 
x betrachtet, so hat man bekanntlich; 
dy ^s+1 J s 
-f = hm. —' 
dx x . , —x 
S+ 1 S 
und es führt demnach die Gleichung 1), 
wenn man nach und nach für x die 
Werthe x lf x 2 • • • x g setzt, zu folgen 
dem Resultate : 
2) yi=yo+(Xi-Xo)f(x 0 » y«X 
y^~y i x i) f i> V i)> 
yi=y 2 +(x s -x 2 )f{x 2 , y 2 ), 
y s =y s -1 + » s -* s -№-1’ y s -^- 
Man kann diese Gleichungen als ein 
System recurrenter Beziehungen betrach 
ten, demzufolge für gegebenes x 0 sich 
y 0 ganz willkürlich bestimmen lässt; 
nach dieser Bestimmung werden sich durch 
allmäliges Einsetzen die Grössen y L , 
y 2 . . . y^ völlig eindeutig ergeben, so 
lange f{x, y) eindeutig bleibt und nicht 
discontinuirlich wird. Im letztem Falle 
würde nämlich ein Fortschreiten von 
einem Werthe von y : y t zu einem nächst 
folgenden y ( ^_ ( nach den Regeln der 
Differenzialrechnung nicht mehr möglich 
sein. Die Gleichungen 2 geben also 
für jeden Werth von y g , den wir jetzt 
mit y bezeichnen wollen, einen entspre 
chenden Ausdruck, der eine willkürliche 
Constante (t=y 0 enthält; es ist also das 
Vorhandensein eines Integrals erwiesen, 
und selbst im Allgemeinen ein Verfah 
ren, ähnlich dem der mechanischen Qua 
dratur, gegeben, durch welches man bei 
gegebenem Zahlenwerthe von y dies In 
tegral näherungsweise erhalten kann. 
Desto genauer wird diese Näherung 
sein, je mehr Zwischenwerthe x ¡, 
x t . x g _ t man zwischen x 0 und x g 
einschiebt. Addirt man alle Gleichun 
gen 2, so erhält man noch: 
y,=yo+ li “[C«|-*o)/ , (*<» y«) 
+(«!-*!)f(Xi, Vi)+ • • . 
+ ,)/■(*,_ r y s _ y )\, 
oder gemäss der bekannten Bezeichnung 
der Quadraturen: 
3) 
oder; 
y s ~y* + / S f( x >y)dx, 
,ß x 0 
r x 
y = y»+ I f(x,y)dx; 
** x 0 
y nimmt also die Form einer wirklichen 
Quadratur an. 
Es ist eben hierbei nur zu bemerken, 
dass y in f (x, y) als Function von x 
betrachtet werden muss, die aber durch 
keinen allgemeinen Ausdruck, sondern 
durch die Beziehungen 2) für jedes Glied 
unter dem Integralzeichen bestimmt ist. 
Auf diese Weise ist auch f(x, y) als 
eine Function von x allein zu be 
trachten. 
Ist übrigens f ([x, y) eine monogene 
Function von x und y, d. h. eine sol 
che , wo die Art des Zuwachses von x 
und y (ob derselbe reell oder imaginär