Quadratische Factoren, 
34 Quadratische Factoren. 
herrührenden Beweis geben. Es geschieht 
dies an dieser Stelle, weil an ihn einige 
Betrachtungen angeknüpft werden sollen, 
die sich nicht mehr auf algebraische 
Gleichungen beziehen, — Dieser Beweis 
N « re— 1 n- 
f{x) = x + A t x +A 2 x 
wo das von der Unbekannten freie Glied 
A negativ ist, immer eine reelle Wurzel 
n 
hat, die gleich oder grösser als Null ist. 
Der Ausdruck f(x) ändert sich nämlich 
offenbar nur continuirlich, da er nicht 
für endliche Werthe von x unendlich 
werden kann. Für x=0 ist nun f(0) — —A 
also negativ, für #= + 00 dagegen ist 
das erste Glied x derart überwiegend, 
dass es das Zeichen von f{x) bestimmt, 
so dass /’( + cc ) = -f-oo wird; die Function 
fix) hat also, während x von 0 bis oo 
sich ändert, auf continuirlichcm Wege 
sich von einem negativen Werthe bis 
zu einem positiven geändert, und muss 
also für irgend einen dazwischen liegen- 
Re u = rV'/ J + 
ist in dem bekannten Werke Cauchy’s, 
,, Cours d’analyse algébriquemitge- 
theilt. 
Zunächst lässt sich zeigen, dass jede 
Gleichung von der Gestalt 
2 
4" • • • An—i x—An — 0 
den, also positiven Werth von x, der 
aber auch Null sein kann, durch Null ge 
gangen sein; ist also « dieser Werth, 
so ist 0, was zu beweisen war. 
Sehen wir nun von dem Werthe des 
letzten Gliedes ab. 
In dem Ausdruck 
f(x)~x +Ax + Ax + • • • + A 
1 2 re» 
wo A , ... A beliebig reelle oder 
1’ 2 n ö 
imaginäre Zahlen sind, setzen wir 
A =Q e n s\ x - r e'i\ f{x) = ne li 
s s 
Die Module p , r, R sind hier als positiv 
zu betrachten. Man hat : 
- + '“' )i +... +(vM 
Quadratiscl 
n U nnr/i . 
Re -r e 1 +p, 
Wir wollen nun 
r-\-a schreiben, w 
andere Werthe, dii 
zeichnen, annehme 
sehen ist, hat man 
.1. i h 
r e 1 -Re +« n 
i i 
Es können nämlich 
Das bis jetzt beliel 
£ sei eine positive 
wo 
oder, wenn wir mit e n 'f l dividiren : 
Re {i.-n^i =r n + ^ r n-l e ( fll -q)i + ^ r n-2 e (^-2q)i + ' m _ e C“«-“7>- 
Da hierin aber die reellen und imaginären Theile rechts und iinks einzeln ver 
glichen gleich sein müssen, so ist auch: 
(I—nri)i n. n—1 —(u,—a)i , « —2 _ — (u~ — 2y) i , 
Re ’ —r +Q l r e K +(>» r & + • • • 
, —(u —nq)i. 
+ Qn e n 
Trennt man hier den reellen vom imaginären Theile, so erhält man, wenn man 
beide Gleichungen mit einander multiplicirt: 
Ho / 11 n ~ 1 »—2 X . 
R 2 = (r COSKj-fpar cos « 2 + . . . +p cos«) 2 
, n—1 . re—2 . , . 
-hCp^- Sinrq + Par sin« 2 + . . , +p sin« ) a , 
71 71 
wo der Kürze wegen gesetzt ist: 
a s = ‘ U s - S, f 
Der kleinste mögliche Werth des Aus 
druckes rechts ist offenbar der, wo alle 
Sinus gleich Null, alle Cosinus gleich 
— 1 gesetzt werden, denn in diesem Aus 
druck wird von dem stets positiven r n 
soviel als möglich abgezogen, während 
das letzte Quadrat ganz'verschwindet. Es 
ist also: 
,,2^/ n n—i n— 2 \2 
Ä -( r -‘V -v 
Die Gleichung 
re «—1 n —2 _ 
*■“<?/ -es - • • • ~Q=° 
deren letztes Glied negativ ist, hat aber 
nach dem Vorigen immer eine reelle po 
sitive Wurzel, und der Ausdruck links 
in dieser Gleichung wird für wachsen 
des r über alle Grenzen hinaus zuneh 
men, aus diesem Grunde muss auch R 2 , 
welches stets positiv und von r und p 
abhängig ist, über alle Grenzen mit zu 
nehmenden r wachsen, und kann auch 
nicht unter Null sinken; es wird also 
R 2 für einen bestimmten Werth von r 
und (p einen kleinsten positiven Werth 
haben. 
Dieser kleinste Werth sei eben R, 
welcher Ausdruck durch die Gleichung 
gegeben war: 
Es ist nun klar, 
den £ der reelle 1 
v p+1 
v~fl 
zuletzt das Zeichen 
also das negative ■ 
reelle Thcil des Au 
mer zuletzt kleiner 
R x cos (/ 
wird, wenn nichtß = C 
ist der reelle Theil 
und da R x undßpo 
f(x) 
wo die Grössen A 
so ist : 
wo r der Modul voi 
Wir setzen nun n 
Um v und w zu 
t=2pA 
1 7 
u = 2p A \ 
1 p 
so ist