Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 403 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Gleichungen als ein 
Beziehungen betrach- 
gegehenes x 0 sich 
bestimmen lässt; 
werden sich durch 
die Grössen y l , 
leutig ergeben, so 
bleibt und nicht 
Im letztem Falle 
^ortschreiten von 
t zu einem nächst- 
den Regeln der 
nicht mehr möglich 
2 geben also 
y g , den wir jetzt 
llen, einen entspre- 
• eine willkürliche 
^ält; es ist also das 
Integrals erwiesen, 
meinen ein Verfah- 
mechanischen Qua- 
welches man hei 
äe von y dies In 
erhalten kann, 
diese Näherung 
Zwischenwerthe x,, 
zwischen x n und x 
0 s 
man alle Gleichun- 
noch: 
'/"(*«» y«) 
i. 2/i)+ • ■ • 
)f( x s-1’ y s -l)l> 
mnten Bezeichnung 
f (x, y) dx, 
f{x, y) dx; 
m einer wirklichen 
nur zu bemerken, 
Function von x 
i, die aber durch 
Ausdruck, sondern 
2) für jedes Glied 
ichen bestimmt ist. 
auch f(x, y) als 
x allein zu be- 
y) eine monogenc 
y, d. h. eine sol- 
Zuwachses von x 
reell oder imaginär 
sei) auf den Werth der Ableitungen 
und keinen Einfluss ausübt (ver- 
ox oy 
gleiche den Artikel: Quantität), so sind 
die Grössen y v y 2 • • • y g als Summen 
von solchen Functionen zu betrachten, 
und theilen also diese Eigenschaft. Es 
ist also f{x, y) eine monogene Function 
von x, wenn man y als Function von 
x betrachtet. Hieraus und aus der Form 
der Quadratur, welche wir in 3) der 
Grösse y gegeben haben, folgt dann die 
Allgemeingültigkeit des in dem Artikel: 
analytische Quadraturen bewiesenen 
Satzes, dass der Werth von y g auf ganz 
dieselbe Weise erhalten wird, welches 
auch die Zwischenwerthe x lf x 2 • • • 
x g _ | seien, d. h. für jede zwei Inte 
grationswege, wenn nur Anfangs- und 
Endpunkt x 0 und x sind, und sich in dem 
von beiden Wegen begrenzten Theile 
der Ebene kein vielfacher und kein Dis- 
continuitätspunkt der Function f (x, y) 
befindet. (S. den Artikel: analytische 
Quadraturen, Abschnitt 8 bis 15) 
4) Theorie des Euler sehen Mul 
ti plica t o rs. 
Sei gegeben die Differenzialgleichung 
1) Pdx + Qdy — 0, 
wo P und Q Functionen von x und y 
sind, und das Integral derselben, dessen 
Existenz nach dem Obigen feststeht, sei 
unter der Gestalt gegeben: 
2) f{x, y) = a, 
wo n die willkürliche Constante ist. 
Durch Differenziiren der Gleichung 2) 
ergibt sich dann; 
3) 
%ix+*ldy= 0, 
dx dy u 
eine Gleichung, die mit 1) verglichen 
zeigt, dass 
P:Q= 
of . 
dx 
rV 
oder wenn man unter M eine unbe 
stimmte Funktion von x und y ver 
steht : 
4) MP=?f, = 
' dx oy 
Verstehen wir unter cT.t, cfy willkürliche 
Aenderungen von x und y, hei welchen 
also nicht vorausgesetzt ist, dass die 
durch Gleichung 1) gegebene Relation 
zwischen denselben stattfindet, und neh 
men wir die Zeichen dy, dx nur dann, 
wenn letzteres stattfindet, so dass also; 
dy P 
dx Q’ 
dagegen vollständig willkürlich ist; 
setzen wir ferner immer: 
df~Y~ dx-\-~dy, 
dx dy u 
und: 
dx + '-f dy, 
dx dy * 
so ist wegen der Gleichungen 4) 
5) M{Pdx+MQdy) = df, 
d. h.: „Es lässt sich zu jeder Differen 
zialgleichung von der Gestalt 1) ein 
Faktor M bestimmen, derart, dass dann 
das erste Glied der bezüglichen Glei 
chung ganz abgesehen von der durch 
dieselbe gegebenen Relation ein voll 
ständiges Differenzial einer Function von 
2 Variablen wird.“ Dieser Factor M 
wird Eulerscher Multiplicator oder inte- 
grirender Faktor genannt. 
Ist der Multiplicator bekannt, so lässt 
sich das Integral augenblicklich finden. 
Es ist nämlich, wenn man in Gleichung 
5) y constant denkt, was geschehen kann, 
da x und y hier als völlig willkürlich 
zu betrachten sind: 
f=f MPdx+fo, 
x 0 
wo x 0 eine beliebige Zahl, und f 0 der 
x 0 entsprechende Weith von f\st, wel 
cher also noch eine Funktion von y 
sein wird. 
Setzt man x 0 für x in Gleichung 5), 
so wird tf.r o =i7 0, und mögen M, Q unter 
dieser Voraussetzung die Werthe M 0 , Q 0 
annehmen, so ist: 
d fo = M g Qo d ih 
fo = / J M 0 Qo rf 2/> 
J y 0 
wo y 0 ebenfalls eine beliebige Zahl ist, 
also das Integral der Gleichung: 
Pdx+ Qdy 
wird sein: 
6)