■ Zurückf. auf. 
äs jeder beliebigen 
ist immer ein In- 
M' Multiplicatoren, 
5): 
'dy-öf, 
'd'y-df', 
finition zufolge In- 
lat aber nach dem 
(/•), 
if) 
zweite Gleichung 
rt: 
= 'P if), 
nt in der That ein 
oren bekannt, so 
m statt der Qua- 
g des Integrals.“ 
t man jedoch kein 
Multiplicator einer 
gleichung von vorn 
id ist es daher un 
am er auf Quadra 
li ur in einem 
gelingt die Auffin- 
s. Um diesen Fall 
ir wieder; 
y=0- 
lung ergibt sich: 
- = MQ, 
y 
erste von diesen 
lie zweite aber nach 
M 
y 
: M~ + Q 
ox 
<m 
dx’ 
Seiten mit 
l d V 
dx-— dx. 
ein vollständiges 
Quadraturen 
dM 
Differenzial 
M 
— Zurückf. auf. 405 Quadraturen — Zurückf. auf. 
dP 
die Seite links ist also -j- nur x enthalte, also dass 
dann integrirbar, wenn der Ausdruck 
1 /dP dQ\ ' , , 
nur x enthält, und unter 
/dP_ 
\ du dx ) 
0 \ày 
dieser Bedingung ist: 
dP_ 
dy 
= '/ i x ) 
ist. Hieraus ergibt sich aber, wenn man 
/i /ap e<?\ J tate « rirt: 
] °s M -J -q [jjf--fo) dx ’ f= 
/ 1 / dP dO\ Die Integrations-Constante kann nämlich 
—-l-v— ~^)dx. eine beliebige Function von x sein, da 
e 0 '°y "X / nur nach y integrirt wird. Unsere Diffe 
renzialgleichung hat also die Gestalt: 
Um die Gestalt der Differenzialgleichun 
gen, für welche diese Bestimmung des 9) dy+yff{x)dx+ip{x)dx = 0, 
Multiplicator statt hat, zu ermitteln, be 
merken wir, dass sich die Gleichung: d. h. sie enthält y nur in der ersten 
p, , f, i ß Potenz. Man nennt sie eine lineare 
ex l c y Differenzialgleichung. Es ergibt sich 
immer auf die Form bringen lässt: dann: 
dy-\-Pdx~0, M—e f . 
P 
indem wir nämlich P für — setzen. Es Um das Integral zu bestimmen, wenden 
, , , , , , ... wir Formel 6) an. Es ist offenbar-, 
kann also auch unbeschadet der Allge- wenn wh . die / ntegration im Exponenten 
memheit, 0 = 1 gesetzt werden. Es ist von }f mit beg ö innen . 
dann: 
M=e 
f 
dx, 
/ ib 
y (x) dx 
x o 
0o = Q=h 
/ £»X £'• X 
x j y{x)dx pX I (f,{x)dx 
e x* (f.(x)dx+ I eJ x 0 t, 
X. 47 
unter der Bedingung, dass der Ausdruck 
xp{x) dx-\-y = ct. 
Offenbar aber lässt sich die erste Quadratur ausführen. Es ist nämlich, wenn 
man: 
/ 
n 
setzt : 
also: 
y (x) dx — u 
0 
du — ff (x) dx, 
/У 'X 
(f (x) dx p 
x 0 '/ (x) dx= I 
x 0 7 0 
also das Integral hat die Form: 
pX 
x I ff (x) dx 
P. J X . 
e du —e — 1, 
/ 
4~\ Ai 
/ '/W 
xp (x) dx + y e 7 x q 
x 0 ist ganz beliebig zu nehmen. 
Ist z. B. gegeben die Gleichung: 
dy -\-ydx ip (x) dx = 0, 
wo also 
fi*) = l 
zu setzen ist, und nimmt man 
dx 
n-„ = 0, 
so kommt ; 
2/' 
/ i X 
xp{x) 
0 
e dx — a. 
Es gelingt indess die Zurückführung der 
Gleichung 9) auf Quadraturen auch in