Quadraturen — Zurückf. auf, 406 Quadraturen — Zurückf. auf. 
anderer Weise, ohne die Theorie des 
Multiplicators anzuwenden. 
Setzen wir nämlich 
y-uv, 
und wird hierbei Vorbehalten, eine der 
Functionen u und v in irgend einer 
Weise zu bestimmen, wo dann die an 
dere immer noch unbestimmt bleibt, also 
so genommen werden kann, dass sie der 
Gleichung 9) gemäss wird, so verwandelt 
sich diese Gleichung in; 
10) udv-\-vdu + uv(j (x) dx-\-xp(x) dx — 0. 
Die Grösse v bestimmen wir nun durch 
die Gleichung: 
dv-\-vtf (x) dx = 0, 
d. h. 
dv ... 
—+(/ {x)dx=0, 
oder da beide Glieder berechnet werden 
können: 
/ CC 
7 (x)dx~ 0, 
*0 
- j (f. (x) dx, 
./ .7? 
die Gleichung 10) aber wird jetzt: 
vduzrz — \/> {£) dx, 
oder wegen des Werthes von v: 
cc 
j 7 (x) dx 
x„ 
e 0 
f*CC 
r x I f (») 
u=- I e-* ar 0 
du— — e ■ < '° (/; (x) dx, 
dx 
xp (x) dx— a, 
wo ct eine Constante ist, und da y = uv 
war: 
/ CC r* cc 
ff (x)dx r pX I (f (x) dx 'i 
x 0 9 / e' x 0 i/j(x)dx + n. | 
Dies ist, wie leicht zu sehen, das oben 
gefundene Integral. 
Pdx+QJy=~df, 
5) Singuläre Integrale. 
Es waren die Gleichungen: 
1) M(PJx+Qdy) = df, 
und 
2) Pdx+Qdy- 0 
gegeben. Wenn man 
f—«, 
also gleich einer Constante setzt, so 
wird 
df= 0 
sein, und die erste Gleichung mit Hin 
weghebung des Faktors M der andern 
identisch werden. Die Gleichung f—a 
ist also das allgemeine Integral von 
Pdx-{-Qdy = 0. Specialisirt man die Con 
stante n, indem man ihr einen beliebigen 
Zahlenwerth gibt, so hat man ein parti 
kuläres Integral, d, h. ein solches, wel 
ches keine willkürliche Constante mehr 
enthält, aber in dem allgemeinen einge 
schlossen ist. Indessen kann cs auch 
Gleichungen geben, die ohne eine will 
kürliche Constante zu enthalten, die 
Gleichung 2 erfüllen und nicht in dem 
allgemeinen Integral enthalten sind. Die 
selben heissen singuläre Integrale. Um 
dieselben zu ermitteln, bemerke man, 
dass man hat: 
und aus dieser Gleichung ergibt sich 
auch noch die Gleichung 2), wenn man 
setzt: 
„ = 0, d. h. M= oo. 
Ist diese Gleichung, wie es doch im 
Allgemeinen der Fall sein wird, nicht 
in f=a eingeschlossen, so stellt dieselbe 
also das singuläre Integral dar; d. h. 
„Man erhält das singuläre Integral, wenn 
man den Multiplicator unendlich setzt.“ 
Sei jetzt das allgemeine Integral un 
ter der Form 
'/• Ob 2b «) = 0, 
die Differenzialgleichung unter der Form 
dy , . 
dx~^ (X ’ yh 
oder 
dy — xp (x, y) dx — 0 
gegeben. Es soll untersucht werden, ob 
und welche singuläre Integrale Vor 
kommen. 
Man hat offenbar, wenn man sich « 
als variabel denkt, also a durch die 
Gleichung 
7 Ob 2/> «) = 0, 
woraus sich 
cc 
= /■(*. y)