— Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 407 Quadraturen — Zurückf. auf. 
7 (x) dx=0, 
7 (:e) dx, 
o 
ier wird jetzt: 
b (x) dx, 
thes von v: 
/ (x) dx 
xp (x) dx, 
■ ( x) dx 
xp (#) dx— a, 
ist, und da y — m 
Ichung ergibt sich 
rng 2), wenn man 
, M= oo. 
wie es doch im 
l sein wird, nicht 
n, so stellt dieselbe 
ntegral dar; d. h. 
läre Integral, wenn 
• unendlich setzt.“ 
neine Integral un- 
) = 0, 
ig unter der Form 
y). 
) dx-0 
¡rsucht werden, ob 
e Integrale vor- 
wenn man sich « 
ilso a durch die 
= 0, 
y) 
ergibt, bestimmt: 
also: 
^*4>4>=o. 
dx oy * da 
und wenn man « constant setzt, was 
wir dadurch andeuten, dass wir das 
Zeichen cT mit d vertauschen: 
d(f , dir, 
-^-dx+ -~dii: 
dx oy J 
' 0. 
Vergleicht man aber diese Gleichung 
mit 
dy—xp{x, y) dx-0, 
so erhält man: 
dip 
y> (»» y) = - 
dy 
woraus sich dann ergibt; 
— 1 /dr 
dy-xp {x, y) dx — dy + dx dx = 
T T y 
dy 
dir, 
dx-f- — 
Ox dy 
dy)> 
d. h. 
dy — xp {x, y) dx = —4 da. 
dip 
dy 
Diese Gleichung führt auf dy — xp (x, y) dx Umgekehrt kann man der Gleichung eine 
= 0 zurück, wenn a = Const. Dies ist Form geben, wo sie kein singuläres In- 
das allgemeine Integral; dies ist also: 
y> «) = 0. 
Die Differenzialgleichung ist aber auch 
erfüllt, wenn 
dj. 
du 
dj, 
dy 
• 0, 
d. h. 
d X=0. 
da 
>y 
tegral mehr hat, und zwar geschieht dies 
durch Multiplication mit dem Multiplica 
tor M-, denn die Gleichung: 
MPdx+MQdy = df 
wird nur mit MPdx+MQdy = 0 identisch, 
wenn man 
f-a 
setzt. — Es gibt gewisse Regeln, welche 
lehren, das singuläre Integral selbst 
dann noch zu finden, wenn man das 
allgemeine nicht hat. Indessen entbeh 
ren dieselben in der gewöhnlich ihnen 
Jede dieser beiden Gleichungen kann gegebenen Form der Schärfe, insofern 
singuläre Integrale geben, wenn man « dabei genauer auf die Arten der Func- 
mittels der Gleichung 7=0 eliminirt. tionen eingegangen werden müsste. 
Es ist jedoch dazu nöthig, dass dieselben Beispiele zur Bestimmung singulärer 
nicht in der Gleichung f-a enthalten Integrale sind in dem Folgenden ent- 
sind, und dass der Werth 
zugleich 4 = 0 mache, oder ^ = oo , nicht 
V 
da 
dcf._ 
; 0 nicht 
halten, 
6) Methode der Trennung der 
Varia bien. 
°y °V Um eine Differenzialgleichung auf 
4 = co mache, da sonst der oben gege- Quadraturen zurückzuführen, ist die Auf- 
da findung des Multiplicators nicht immer 
bene Factor nicht Null zu werden braucht, die bequemste Methode. — Eine an- 
Die singulären Integrale sind von der dere, welche oft diesen Zweck erreichen 
willkürlichen Form, welcher man der lässt, ist die Trennung der Variablen, 
Gleichung Pdx-\-Qdy = 0 gibt, abhän- verbunden mit der Transformation der- 
gig. Multiplicirt man nämlich diese selben. Kann man nämlich der Glei- 
Gleichung mit einem beliebigen Faktor chung 
H*,y), so gibt dieser, gleich Null ge- Pdx+Qdxj = 0 
setzt, offenbar ein singuläres Integral der ^ 
Gleichung: durch Transformation eine Form 
■8-• Pdx+9-• Qdy = 0. 7 (m) du -)- xp (v) dv = 0