Quadraturen — Zurückf. auf, 410 Quadraturen — Zurückf. auf. 
entweder auf die Form der linearen oder 
der homogenen Gleichungen zurückge 
führt werden. 
A) Sei z. B. gegeben: 
{ax + by -f c) dx — (nx+ßy + y) dy, 
so setzt man; 
ax + by + c= t, r<x-\-ßy + y = u, 
und erhält: 
adx + hdy — dt, c.dx-ß- ßdy — du, 
, ßdt—hdu , —adt-{-adu 
dx =z —-—-—, dy = ; , 
aß—ba 3 aß—hu 
und unsere Gleichung nimmt die Ge 
stalt an: 
(cm + ßt) dt — (au + bt) du, 
welche offenbar linear ist. 
B) Sei ferner gegeben: 
y H ~ J d V+y m f (») dx = (f, 0) dx; 
setzen wir hierin: 
m 
y =“, 
so wird; 
also: 
m — 1 j u 
y dy =m» 
Form bringen. Setzen wir zu dem 
Ende: 
h k 
X— Z , y — U , 
indem wir uns die Bestimmung der Ex 
ponenten h und k Vorbehalten, so kommt: 
W m+, ) A —'Ä + 
Bkz™ 1 h u (Pi + l ) k ~ 1 du = 
Chz tn » h u( p * +l ') k ~ l du. 
Setzt man hierin : 
(m-f-l) h-l-\-m 2 hz=.0, 
( Pl +l)k-l-pk = 0, 
(p 2 +1) k—1 —pk=.ß, 
hA — a, kB = b, kC=c, 
so nimmt die Gleichung die Form an: 
adz -j-hz a du = cu ß du, 
und es ist zu setzen: 
h t= 
-, k 
m + 1 — m a ’ Pi + 1—p’ 
also ; 
— + «/■(«) dx= (/ (x) dx. 
Es ist dies aber offenbar eine lineare 
Gleichung. 
C) Auf gleiche Weise kann man die 
Gleichung 
m-f-l— m. Pi + l —/> 
x=z 1 2 , y—u 
Die resultircnde Gleichung ist linear, 
wenn 
m—m i + 1 
dy-\-y f(x) dx-\- y n y (x)dx—0, 
welche die Bernoullische Gleichung ge 
nannt wird, der Substitution 
unterziehn, und erhält: 
du — — (n — 1) « U dy, 
d. h. 
— n~l w ^ 7 0*0 dx, 
abermals eine lineare Gleichung. 
In Abschnitt 6) betrachteten wir be 
reits eine Gleichung, deren Integration 
durch diese Substitution gelang, und 
welche von noch complicirterer Gestalt 
war. 
D) Die allgemeine Gleichung: 
Ax m yddx-\-Bx' n l yd 1 dy ~ Cx m "yP ’dy, 
die also aus drei Theilsätzen von ratio 
naler Form besteht, lässt sich durch 
Transformation immer auf eine einfachere 
ist. 
Unter den übrigen Fällen ist nament 
lich der, wo c< = 2 ist, betrachtet worden; 
die Gleichung heisst in diesem Falle 
die Riccatische, nach demjenigen 
Mathematiker, der sich zuerst mit ihr 
beschäftigt hat. 
(Vincent Riccati, 1707—1775.) 
8) Die Riccatische Gleichung. 
Die Riccatische Gleichung: 
1) dy-\-ay 2 dx=z bx m dx, 
ist in dem Falle augenblicklich zu inte- 
griren, wo m = 0 ist. Man erhält dann: 
dy — (6— ay a ) dx, 
x= r d y 
.J b — ay 2 
Um andere Fälle zu ermitteln, setzen 
wir: 
« , ß-lj 
y — z , dy — az az, 
und erhalten: