Zurückf. auf. 
mraung der Ex- 
Iten, so kommt: 
+ 
1 + 0*- 1 ( iu = 
> a + 0*— 1 du, 
2 h=x 0) 
— (( i 
pk = 0, 
pk—ß, 
kC= c, 
die Form an: 
..ßdu, 
Pi + 1 ~P' 
Pi+'-P 
u 
mng ist linear, 
Fällen ist nament- 
betrachtet worden; 
in diesem Falle 
nach demjenigen 
ch zuerst mit ihr 
1707-1775.) 
he Gleichung, 
ichung: 
bx m dx, 
nblicklich zu inte- 
Man erhält dann; 
») dx, 
~y 
ay 1 ' 
ermitteln, setzen 
« — 1 t 
z dz, 
Quadraturen — Zurückf. auf. 411 Quadraturen — Zurückf. auf. 
i j. . —-«j i jnj_. setzt. Es kommt dann: 
2) ctz" ’ dz-\-az' l ' , dx~bx""dx. 
Wenn — du-\-—— — bx m+ \*dx, 
a—l = 2n = m X 
, , . , . und wenn man: 
ist, so hat man eine homogene Glei 
chung. Es ist dies also der Fall, wenn v = dv 
H — 11 m——2. (m + 2>)x m '^ r ' 
Die Gleichung nimmt dann die Form an: 
x 2 dz + {hz 2 —ax 2 ') dx — 0. =———g v 
Andere Fälle ergehen sich, wenn man ^. 
setzt: 
»t+ 2 
m -j- 3 
y=Ax^ -\-zx ( t, 
bu 2 dv 
m-f- 4 
4) +^3-^73 v m + 3 äv. 
dy — {Ap x + qx z)dx+x dz. j)j e Qj, e j c p UI1 g 4) hat offenbar ganz die 
Dies in die ursprüngliche Gleichung Dorm der ursprünglichen Riccatischen 
einsetzend, erhält man nämlich: Gleichung 1). Sie ist also zu integriren, 
x1dz+{ApxP-' + qx ( l->z)dx wem man m+4 
■ J ra{A i x'P~\-2AxP Jr( tz+x'^z^dx m ~ 3” 
— bx m dx. setzt und die Substitutionen 
Diese Gleichung besteht dann nur wie- _ 1 . z> 
der aus 3 Theilsätzen, wenn man an- ~ a'v 2 
nimmt, dass: 
p — 1 = 2p, Ap+aA ■ = 0, 
q-l — p-\-q, q-\-2aA=0 
ist. 
Hieraus folgt: 
also: 
und: 
V— — 1, A ~ > ?=—2, 
a 
V — 1— 
ax x 2 
ganz wie vorhin macht. 
Ist m' aber nicht gleich —4, so kann 
man setzen; 
1 »w'+3 
Die so entstehende Gleichung wird dann, 
im Falle 
„ m'+4 
m = TTo = —4 
m'-f 3 
ist, der Substitution: 
, 1 z" 
U ~a"v' + v'* 
3) x ~dz-\~ax z 2 dx=bx t dx 
ist die transformirte Gleichung. Sie ist unterworfen und dadurch wie vorhin auf 
homogen, wenn 
m-—2 
ist. 
Die Gleichung ist aber auch zu in 
tegriren, wenn 
m = — 4 
ist. Dann hat man nämlich: 
x 2 dz + a z } dx — bdx, 
d. h. 
P dz _ i dx _ —1 
J b—az 1 J x 2 x 
eine integrirbare Gestalt gebracht. Es 
ist dies also möglich, wenn: 
, m+4 . 
,„=-4, *'=-^=-4, 
, m' +4 . 
m = ,7,8-4 • 
m + 0 
d. h, wenn m einen der Werthe hat: 
8 12 16 
'3' 5’ 7 " ’ 
oder, was dasselbe ist, wenn: 
4r 
4, 
Die allgemeine transformirte Gleichung 2r—1 
3) wird nun nochmals transformirt, in- -wo r eine beliebige positive ganze Zahl 
dem man vorstellt. 
_1 Man kann aber auch in die ursprüng- 
^ u liehe Gleichung 1) setzen: