Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 415 Quadraturen — Zurückf. auf. 
von p betrachtet 
c+xdu, 
du 
p—u 
f 
du 
p—u 
inngen in Verbin- 
P) 
i eliminiren, wo 
erhält. 
Quadraturen nach 
man: 
dp 
p—u 
y = 
c(p±Yi+p] 
n y(l+p‘) 
(p+nYl+p*). 
Aus diesen beiden Gleichungen ist p zu 
eliminiren. 
VI) Noch einfacher ist die Integra 
tion, wenn die Gleichung die Form hat: 
y = F (/>), 
oder: 
x—F(p). 
Im ersten Falle ist: 
dx = — du, 
p 
also, indem man theilweise integrirt: 
F(p) 
¡F_{p)dp 
p J p 2 ' 
Aus dieser und der gegebenen Gleichung 
wird p eliminirt. 
Im letztem Falle, wo x = F(p) die ge 
gebene Gleichung ist, setzt man: 
dy ~pdx, 
also : 
y-px—f xdp, 
d. h. 
y—pF(p) —fF(p) dp, 
und die Elimination geschieht wie oben. 
Beispiel. 
xy^-Fp^-np-, 
hieraus folgt; 
ap 
y-px 
y(i+p 2 )’ 
j' ap dp 
V(fl 2 -« 2 ) 
d. h. 
y=px—ay(l-\-p 2 ) + c, 
oder wenn man aus der gegebenen 
Gleichung: 
y (fl 2 — x 2 ) 
findet: 
Yi 
) fl 2 — i 
r + C) 
d. h. 
(;y — C) 2 = fl 2 -- ü 
Wie auch die Ordnung einer jeden 
Gleichung eines Systems von Differen 
zialgleichungen beschaffen sei, wenn nur 
die Anzahl der Variablen die der Glei 
chungen um 1 übertrifft, in jedem Falle 
lässt dasselbe sich auf ein anderes Sy 
stem zurückführen, welches derselben 
Bedingung genügt, und wo säramtliche 
Gleichungen erster Ordnung sind. Es 
ist dies der in 2 D) bewiesene Satz. 
Sind x, x., x. • • • x die Variablen, 
so kann man also als allgemeinste Form 
des Systems der hier zu betrachtenden 
Gleichungen annehmen: 
1) adx-\-a.dx. +cc,dx. } ... a dx =0, 
cddx-\-udx, -]-ciJdx~ . . . a 'dx —0, 
1 ■* 2 n n 7 
S n ] ^äx+aY ^dx x -\- c<J~ n ) 
dx 2 + 
(n-'^dx =0. 
Aus diesen n Gleichungen aber können 
immer (n—1) Differenziale eliminirt, und 
das System auf eine Gestalt gebracht 
werden: 
2) 
dx l dx 2 
dx 1 ’ dx 
dx 
:U „ 
■ = u. 
Die Grössen U lt U 2 .. 
tionen von x, x v x t . . 
dx 
U sind Func- 
n 
x . Der Sym- 
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metric wegen aber setzen wir noch: 
U,=- 
X 
TT -A 
U t U = — 
2 X n X 
und bestimmen die Variable u durch die 
Gleichung: 
dx 
Es verwandelt sich das System 2) dann 
in das folgende: 
3) 
dx dx v _ dx, 
dir ' 2 
dx 
du 
= X . 
10) Behandlung derjenigen Sy 
steme von Diff er e nzi algl e ichun- 
gen mit beliebig viel Varia 
blen, wo die Anzahl der Glei 
chungen um eins kleiner ist als 
die der Variablen. 
Die neu eingeführte Variable u hat 
die Eigenschaft, dass nicht sie selbst, 
sondern nur ihr Differenzial du in dem 
System 3) vorkommt. Eine solche Va 
riable bezeichnen wir als „Index des 
System es 3.“ 
Das letztere System soll den folgen 
den Betrachtungen zu Grunde gelegt 
werden.