Zurückf. auf. 
It man: 
IX 
-1 = 0. 
Heichung erfüllt wird, 
ezügliche Definitions- 
iplicators erfüllt, so 
= 1 setzen. Es ist 
tiplicator: 
1 
Zl_ ... c)f n ~ i 
I dx^ 
Aufgabe, welche aus 
ng entspringt, und 
einfaches Integral 
Minimum sei, führt 
von Differenzialglei- 
m: 
d 'f , dt l„ _ <'>'/> 
d P>'"lT~ d Pn 
_ d <f 
dq 2 • • • 
d p t i _ h. 
dl 
der mit p und q 
i ist. Die Anzahl 
also nach Elimina- 
■1. — Gleiche Form 
milton gezeigt hat, 
nchungen an, falls 
man betrachtet, das 
i Kräfte stattfindet, 
jrsichtlich. Da aus 
sr kleinsten Actio- 
•aglichen Gleichun- 
ä einer Minimums 
betrachtet werden 
len Artikel: Varia- 
0(f, 
• • X =^L, 
n °Pn 
_ d V‘ 
dq 2 
x, = -■?-, 
-n da 
= q , x 
t 1 'W/ 
tr n-fl 
= P i. 
, • • • —P , 
ln 1 n’ 
kleiner als I, oder 
Quadraturen 
dx 
Zurückf. auf. 423 Quadraturen — Zurückf. auf. 
d 2 rp 
àpjq s 
dX 
also: 
M-+-S ö 2 f 
v , — dp dq 
n-\- s 's 's 
dX dX n4-s 
—ü±i = o, 
nt? 1 ,*5.. 7 
1 p — n dx 
X x - v 
s „— i dx 
l J — 1 p 
nur von x g abhängig, so kann man in- 
tegriren, und erhält: 
M+ s 
oder: 
woraus folgt: 
p = 2 n d X 
lg M=-^ 
f 
,dx 
s 
p — n 
X 
dX 
P 
T) — 1 
dx ’ 
s 
r — 1 
P 
dx 
1 s 
P — n 
Q/ 
dx 
s 
V — 1 
P 
V- 1 
■=o, 
V 
M=e 
Es ist dies jedoch der einzige allgemei- 
Der Multiplicator des in Rede ste- nereFall, wo der Multiplicator von vorn 
henden Systems ist also gleich 1, d. h.: herein und ohne Integration des Systems 
„Hat man die Integrale einer der S e fe' e ^ en 
Mechanik oder der Variationsrechnung 14) Eigenschaften der Inte- 
entsprechenden Differenzialgleichung bis grale. 
auf eins ermittelt, so ist dieses letz- „ . . , , , „ , 
tere immer durch blosse Quadratur zu Sei wieder das gegebene System: 
finden.“ .t~. dx 
Ein Multiplicator lässt sich aber auch 1) 
in einem allgemeinem Falle ermitteln, 
dx i _ -y dx i 
du 1 ’ du 
du 
:= x 
der genau dem entsprechenden Falle in w0 Grössen '<X X 
der Theorie des Euler’schen Multiplica- 
tors entspricht. 
Es war: 
d lg M p — ndX 
• X von 
n 
x,, x„ • • • x , nicht aber von u unab- 
15 2 TV 
hängig sind. Sei ferner: 
X X 
.= 1 P 
~d7~+ ~ 
V P=i dx p 
- 0) 
fl, h 
n— 1 
und wegen des gegebenen Systems : 
dx 
n 
= X 
ein System von Integralen, die von ein 
ander unabhängig sein sollen, so ist: 
dx. dx« 
p — ndx d lg M 
x y f-äf- = 
. = l à» p 
X. 
du 
p — n 
dX 
P 
dx 
p=i r *p=\ p 
wo x g eine beliebige der Grössen x lf 
x n • • • x sein kann. Betrachtet man 
also x als unabhängige Variable, und 
bezeichnet das vollständige Differenzial 
von IgM, nach x g genommen, wenn alle 
Grössen x als von x g abhängig gedacht 
werden, mit d lg M, so hat man: 
p~n d lg M dXp d lg M 
2 >^ x '+^ x =+ 
Îhx i+ y^X 2 + 
ux, ox„ 
df v 
+ = LL X =0, 
ox n ’ 
n 
+lr x „= 0 
d f 
d f 
dx x dx 2 
X,+ 
+ 
+- 
d f 
n— i 
dx 
= 0. 
X 
p- 1 
dx 
dx 
p dx 
dx> p — ndx 
also: 
Ist also der Ausdruck 
P 
Diese n—1 Gleichungen können dazu 
dienen, n—2 der Grössen X 2 • • • 
X zu eliminiren. — Bekanntlich lässt 
n 
sich diese Elimination so anstellen, dass 
man die erste Gleichung mit einer noch 
zu bestimmenden Function I j, diezweite 
mit einer andern I 2 u. s. w., die letzte 
mit A multiplicirt, und die Producte