— Zurückf, auf. 
;n, statt der Grössen 
•en Werthe, die sich 
;en 1) ergeben, ein 
hat eine zweite Glei- 
’= 0 
i auch diese nach u 
darin vorkommenden 
dx t dx i 
du ’ du 
¡rthe, so ergibt sich 
r ., so dass man auf 
:h fortgesetztes Diffe- 
Iten kann. Aus den- 
mn immer n—2 Con- 
md sich so Integrale 
I — ' ' • 
lässt sich auch das 
Form bringen: 
= 0. 
ie in den Gleichun- 
m Differenziiren die 
ntegralen gezogenen 
ingen bezüglich mit 
,=o. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 427 Quadraturen — Zurückf. auf. 
àf 
(n-2) 
X X„ = 0, 
n— 
dx n —dx 
n—1 
multiplicirt die erste mit A, die zweite mit fj, und addirt, indem man setzt: 
0 = / 
, , df( n ~ 3 ) , df( n ~ 2 ) 
n— 1 n— I 
welche Gleichung zur Bestimmung von ¡x dienen soll, so hat man: 
0 = A 
d f(n — .\) 
dx 
> + (A 
(n-3) 
+ u 
àf 
n—l 
(n—2) 
dx 
) X 
oder: 
äf(”—’)_ X „ »fl—*) 
dx 
+ li 
ti—1 
indem man diese Gleichungen bezüglich mit dx ^ 0 und dx^ multiplicirt, und zu 
der mit dx^ multiplicirten Gleichung 
0 = A 
df( n ~*i df( n ~ 2 ) 
+l, sr— 
n—I n—I 
addirt, erhält man: 
X dx -X 0 dx zzU.df( n ~ 2 '>+U.df( n ~-\ 
n n—2 11 2 n 11 '21 
und indem man in dieser Weise fortfährt, ergibt sich ein den Gleichungen 5) 
ähnliches System, in welchem jedoch die Gleichungen einfacher sind. Nämlich: 
10) Xjx -X i dx n = adf+a l df^ + a 2 df ( ~’')+ . . . + « n _ 2 cTf (n “ 2) 
X n dx a -X 2 dx n - ai 'dfW+ ai ’dfW+ ... + *’ n _. 1 df ( - n " 2) 
X n d Xl -X s dx n = a,"df^+... +a" n _,df {n ~ 2) 
X dx X 
n n— 1 r 
dx„ — 
Es ist hier f ein erstes Integral, f den Constanten irgend welche Zahlen 
ein zweites u. s. av. werthe, so hat man ein partikuläres In- 
Das erste Integral f kommt also hier tegral. Es gibt aber wie in den Glei- 
nur hei der Transformation des ersten chungen mit einer abhängigen Variablen 
Ausdruckes vor. auch singuläre Integrale. 
Setzt man nämlich die Functionen 
Auch diese Gleichungen dienen zur 
Definition des ersten, zweiten u. s. w. f, f 
(') 
• f 
(n—2) 
Constanten gleich, 
tt—1 ten Integrals. so verschwinden die Ausdrücke rechts, 
Gibt man in irgend einem Integral und man erhält: 
X n dx ' Xidx^i = 0, X n dx 2 —X a dx n = 0 . . 
Gleichungen, welche mit den gegebenen 
1) identisch sind. Dasselbe tritt aber 
auch ein, wenn man das 2 te, 3te . . . 
tt—1 te Integral gleich Constanten setzt, 
damit aber statt der Gleichung f = « die 
andere a = 0 verbindet. 
Die Gleichung 
a — 0 
stellt also ein singuläres erstes Integral 
dar, wenn dieselbe keine Folge der Glei 
chung f—a in Verbindung mit den übri 
gen Integralgleichungen ist. 
Für a aber lässt sich leicht der Werth 
ermitteln. Da nämlich . . . .