Quadraturen — Zurückf. auf. 428 Quadraturen — Zurückf. auf. 
(ft 2) 
' die Grösse x t nicht enthalten, 
so ist, wenn man differenziirt: 
dx. 
also a — 
dx, 
es muss also, da X nicht gleich Null 
sein kann: 
df _ 
dx t ~ °° 
sein, und diese Gleichung dcfinirt das 
singuläre Integral. Es ist also gegeben, 
wenn ein erstes allgemeines Integral f 
bekannt ist. 
Sei aber das erste Integral unter der 
Form gegeben: 
y (x„ x 2 . . . x n , rr) = 0, 
so ist die Gleichung 
«=f(*I, X 2 •••»„) 
eine Folge derselben, und denkt man sich 
in y> für « diesen Werth eingesetzt, so 
wird die erste Gleichung identisch, Man 
hat also, wenn man nach x 1 differen 
ziirt, unter dieser Voraussetzung: 
h: ifL =0 
dx l da dx t ’ 
d. h. 
da 
dx, 
da? 1 
dx t 
d V‘ 
da 
Auswahl würde man auf Gleichungen, 
wie: 
dir dr/i 
-r-A = 0O, = GO . . ., 
dx 2 dx 3 
kommen. 
Es gibt aber auch singuläre Integrale 
höherer Ordnung. Ist ein erstes Inte 
gral f~ a nämlich bekannt, so kann man 
mit dessen Hülfe eine der Variablen x l 
eliminiren. Von den Gleichungen 10) 
fällt dann die erste weg, und die übri 
gen werden erfüllt, wenn man f',f"... 
(ft 'A 
f v ' alle gleich Constanten setzt, 
oder wenn man nur f", f" ... f( n 
gleich Constanten, und ausserdem 
a/ = 0 
setzt. Die letztere Gleichung vertritt also 
das zweite allgemeine Integral, und ist 
daher als singuläres Integral zweiter 
Ordnung zu betrachten. Nimmt man 
f- «, r=« i 
an, so fallen die beiden ersten Gleichun 
gen fort, und mau sieht, dass 
««" = o 
ein singuläres drittes Integral u. s. w. 
a n ein solches wter Ordnung 
ist. — Hat man die entsprechenden voll 
ständigen Integrale, so lassen sich leicht 
die singulären daraus ahleiten. Offen 
bar ist nämlich: 
df 
und im Falle des singulären Integrals, 
of 
X 
n 
’ öf n 
dx, 
wo also 
dx 
■ - co ist: 
also; 
df 
*JL- o 
da “ U ’ 
■=co, 
df" 
d f 
(« — 2), 
oder 
dtr. 
1— =00 
ox 
p 
dx. 
Eliminirt man aus einer dieser beiden 
Gleichungen und aus y = 0 die Constante 
a, so hat man also singuläre Integrale, 
falls man nicht auf particuläre Integrale 
hierbei gelangt. 
Die Gleichung: 
dt/, _ 
dx 
rührt von der hier gewählten Form der 
Differenzialgleichungen her, wonach allein 
X dx. —X.dx 
n 1 1 n 
derart transformirt wurde, dass alle In 
tegrale rechts ex-schienen. Bei anderer 
die entsprechenden Gleichungen. 
Ist die entsprechende Gleichung nicht 
unter der Form 
■(/>), 
p+l’ p+ 2 * 
a ,) = « , 
p— 1' p’ 
sondern unter der allgemeinem: 
7 ( Vm’Vh •••*«’ "»"»••• V“° 
gegeben, so hat man, wenn man für a 
P 
den Werth f^ gesetzt denkt, eine iden 
tische Gleichung, und folglich, wenn man 
nach x . differenziirt; 
p+ l