— Zurückf. auf. 
... a mit einander 
n—l 
i Coefficientcn a und 
. enthält: 
¡n und die linken Sei 
ltoren erscheinen, so 
iden, wenn man den 
er Ordnung mit 
estalt: 
L ‘)’ 
Gleichungen nehmen 
;ur Bestimmung von 
Quadraturen — Zurückf. auf. 431 Quadraturen — Zurückf. auf. 
4) 
dx . dx, dx., 
— = 1, —— = Xj, —¡- — X, 
du du du 
dx 
n—1 
du 
dx 
n 
du 
Dies System von n oder n-\-1 Gleichungen, je nachdem man u vorhanden oder 
eliminirt denkt, ist ganz nach den obigen Regeln zu behandeln. Hat man ein 
erstes Integral von der Form*. 
5) f (x, #!, x 2 , . . — 
so geben die Gleichungen 3) ohne Weiteres : 
dx v d' 3 x v d V 
6) 
f(x, X 
dx' dx* 
dx 71 
d. h. eine Gleichung, die ganz ähnlich 
der gegebenen Gleichung 1) ist, nur um 
eine Ordnung niedriger, und die Con 
stante a enthält. Die Gleichung 6) kann 
also wie 1) behandelt werden. Findet 
man ein Integral von ihr, so hat man 
ein zweites Integral der Gleichung 1), 
welches 2 Constanten enthält und eine 
Differenzialgleichung n — 2 ter Ordnung 
vorstellt. Durch successives Auffinden 
der Integrale kommt man auf das n—Iter 
Ordnung, von der Gestalt: 
7) 7 (x, a, ß, ... = 
also eine Gleichung zwischen den beiden 
Variablen x, x t , welche n Constan 
ten enthält. Mit dem Auffinden dieser 
Gleichung ist die Aufgabe gelöst, da 
man eine Relation zwischen x und x x hat. 
Dieser Ausdruck heisst daher auch all 
gemeines Integral der Gleichung nter 
Ordnung. Es enthält n Constanten. 
Jede Gleichung ntcr Ordnung mit 2 Va 
riablen hat also nur ein allgemeines In 
tegral, da sich nur eine Gleichung wie 
7) aus einem System von n Integralen 
d M d M d M 
_+*,_+^—4. ...4 
erster Ordnung ergibt, dagegen 2 Inte 
grale n — Iter Ordnung, 3 n—2ter . . . 
n Integrale erster Ordnung. 
Hat man ein Integral pter Ordnung, 
so ergibt sich durch Differenziiren des 
selben nach m, und indem man für die 
Differenzialquotienten die aus den Glei 
chungen 4) gezogenen Werthe setzt, so 
gleich ein Integral p—1 ter Ordnung, 
eins p—2 ter Ordnung u. s. f., so dass 
die Kenntniss eines Integrals schon alle 
von niederer Ordnung ergibt. 
Um den Multiplicator des Systems 3) 
oder 4) zu finden, hat man die Glei 
chung : 
p = nd(MX) 
2 = 0, 
p = 0 l)x p 
= 1 ist nämlich hier mit 
(wegen 
x 0 = x zu beginnen), wo zu setzen ist: 
~ ” ■ X , 
n— 1 
Die Glei- 
X q — 1, X i .— X 2 , Xi —X¿ 
= x , X = 7 (x, x, ... x ), 
rv n ' ' ’ 1 w 
chung verwandelt sich deshalb in : 
d M , ÖM „ d, f . Ä 
'i^+Ȏ-= o- 
n dx 
Die Gleichung zur Bestimmung des Multiplicators (vergleiche Abschnitt 12) war: 
,dx p = n d X 
M = e 
f 
_ 2 —P 
X „ dx 
s p=0 p , 
aber: 
also: 
dX 
2 
dx dx 
p n 
Mz= ( 
f 
df f‘ 
dx c)x 
wenn man s = 0 setzt; und die Möglichkeit, den Multiplicator zu bestimmen, setzt 
d(f, 
also voraus, dass der Ausdruck nur eine Variable x enthalte.