Quadraturen — Zurückf. auf. 432 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Es muss sonach sein ; 
±'t 
dx 
: xf, (*), 
d. h. ; 
( i — x -V'(*)+*(*! *1» X 1 
wo y und Xp beliebige Functionen sind. 
Der Multiplicator lässt sieb also immer bestimmen bei einer Differenzial 
gleichung nter Ordnung von der Gestalt: 
in in- 
( L x a=,p (x) d : 
dx >l dx 11 
-*■+*(#, £1, 
I dx dx- 
d' 
) 
dx ' 
Also hat man von dieser Gleichung n—1 Integrale erster Ordnung, oder was 
dasselbe ist, ein Integral n— Iter Ordnung, so führt die Bestimmung des In 
tegrals nter Ordnung, also des allgemeineren Integrals, nur auf Quadraturen 
zurück. 
1) 
16) Lineare Differenzialgleichungen. 
Ein System linearer Differenzialgleichungen hat folgende Gestalt: 
dx, 
dx 
— A i x i~\~ A 2 X 2 ■+• 
-\-A x -\-A 
n+1’ 
dx 
-=J/ x l +A 2 ' x 2 + . . . +A ' x + A' , 
dx n n n-1-1 
dx s 
dx 
■A y n Xy+A, 
x„ + ... +Ä " x -j-A" , 
11 n - n+1 
dx 
n -A 
dx 1 
• A • • • 
+A 
(*»—') 
-r I J ( n ~~ 0> 
*ìì + ^n+1 
wo die Grössen A t , A v r • 
A„ , sämmtlich Functionen von 
n+ i 
x allein sind. 
Um dies System auf die einmal von 
uns angenommene Form zu bringen, ver 
binden wir damit die Gleichung: 
= 1, 
und schreiben in sämmtlichenNennern den 
sich hieraus ergebenden Ausdrucki/wstatUfo:. 
Offenbar hat man nun, wenn man dem 
Ausdruck X wieder die oben eingeführte 
Bedeutung gibt: 
X^l, X p = il l (p ~ ,) * 1 W P 
wenn p grösser als Null ist, also : 
ÌÌ-0 0Xp -A (P ~ ]) 
dx dx V 
P 
0, 
+ A (P-% +A , (P- 
n n W+ 1 
0 
also: 
M=e 
n 
-1 dx 
P 2 n A^-'\ 
P =. P 
und der Exponent enthält in der That 
nur die Veränderliche x. 
Man hat also auch hier den Satz: 
„Dass man in jedem System von n 
linearen Differenzialgleichungen nur 
n—1 Integrale zu bestimmen braucht, 
da das letzte durch blosse Quadratur 
gefunden werden kann.“ 
Die Integration der linearen Differen 
zialgleichungen gewährt aber noch an 
dere Vortheile, von denen der wichtigste 
der ist, dass die Kenntniss einer Anzahl 
von particulären Integralen auf die des 
allgemeinen Integrals führt. Um dies 
zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass 
die von .r. , x v . . . x freien Glieder 
A , A* , ... A . '^sämmt- 
n+ r n-f-1 n-\-1 
lieh gleich Null seien. Man hat dann 
zu integriren das System :