Quadraturen — Zurückf. auf. 439 Quadraturen — Zurückf. auf. 
/V(*) /VCO r /V0*0 v Jn (x) n’{x) 
A (*) fii*)’ * A 0) fi O) ■” 1 fiW 
Man hat also particulare Integrale der 
Gleichungen 7), von welchen sich die 
linearen Gleichungen 6) nur durch die 
Schlussglieder unterscheiden, also in der 
selben Weise mit ihnen verbunden sind, 
wie die Gleichungen 1) mit den Glei 
chungen 2). Man kann also auch nach 
der eben gegebenen Methode, wenn wie 
hier ein particulares Integral der Glei 
chungen 7) gegeben ist, das System 6) 
auf ein anderes bringen, welches eine 
Variable weniger hat, so dass man jetzt 
nur noch ein System von n — 2 abhän 
gigen Variablen hat. 
Dietelben Betrachtungen und Rech 
nungen sind zu wiederholen, wenn man 
noch ein particulares Integral der Glei 
chungen 3) hat, d. h. ; Jedes allgemeine 
Integral der Gleichungen 2) reducirt die 
Systeme 1) und 2) auf eine Variable 
weniger, 
18) Andere Eigenschaften der 
linearen Differenzialgleichun 
gen. 
Die Beziehungen, welche sich für die 
Integrale der linearen Differenzialglei 
chungen 1) und 2) des Abschnitts 16) 
finden lassen, sind selbst dann von ho 
hem Interesse, wenn sie nicht zur Dar 
rt u 
x a — e , iP 2 — vj e , x 3 — 
Stellung der Integrale in einer den frü 
hem Theilen der Analysis entnommenen 
Form führen. Die Entwickelung der 
durch diese Gleichungen definirten Func 
tionen in Reihen, die Erkenntniss ihrer 
Eigenschaften fängt an, eine Hauptauf 
gabe der neueren Analysis zu bilden, 
und schliesst die wichtigsten und schön 
sten Probleme ein, welche man sich auf 
der jetzigen Stufe der Wissenschaft zu 
stellen genöthigt sieht. Diese Betrach 
tungen aber hängen mit den allgemei 
nen Eigenschaften der linearen Differen 
zialgleichungen aufs Engste zusammen, 
und muss daher dieser Gegenstand hier 
noch etwas weiter ausgeführt werden. 
Daher geben wir nachfolgenden Satz. 
Satz I. „Die Integration jedes Sy 
stems linearer Differenzialgleichungen 
führt auf ein System, welches eine Va 
riable weniger hat. Dies letztere System 
wird aber im Allgemeinen nicht mehr 
linear sein.“ 
Wir werden diesen Satz nur an den 
Gleichungen 2) zu beweisen haben, da, 
falls diese vollständig integrirt sind, die 
Integrale von 1) sich unmittelbar durch 
die Variation der Constanten ergeben. 
Wir machen in diesen Gleichungen 
folgende Transformationen: 
wo u, v,, v„ . . . v . Functionen von x sein sollen. Setzt' man diese Aus- 
’ 17 2 n — l 
drücke in die Gleichungen 2) ein, so ist leicht ersichtlich, dass überall die Ex- 
ponentialgrösse sich weghebt, und man hat: 
8) 
— A^ -f- r, 4A3 v2 ~\ 
+ Av , 
n n— I 
*+*£% Àk ' + a.'. 1+ a.',. + ... -m; v., 
du 
d~x + 
dv 
n-\_ A (n— i) 
dx 
4 A 
(«■ 
4 + 4”' 
1+ • 
+A 
( n ~ 1), 
n— i* 
Der Ausdruck für — wird aus der er 
dx 
sten Gleichung in die übrigen eingesetzt; 
dadurch verschwindet eine Variable u 
gänzlich. 
Man hat n —1 Gleichungen mit n—1 
abhängigen Variablen ®,, r a ... 
worin aber Ausdrücke von 2ter Dimen 
sion, v x 3 , v t v 2 . . . verkommen. Nach 
Integration dieser Gleichungen gibt die 
erste der Gleichungen 8) die Grösse u 
durch Quadratur. 
Satz II. „Ist ein particuläres Inte 
gral der Gleichungen 1) von der Form 
x t =q l (x) ohne Constanten gegeben, 
und bildet man daraus, wie gezeigt,