Quadraturen — Zurückf. auf. 442 Quadraturen —• Zurückf. auf. 
Die erste Gleichung aber gibt f t (x) = 0, 
führt also zu keinem singulären Inte 
grale, da sich x gleich einer Constanten 
aus ihr ergibt; die zweite Gleichung 
aber: 
l = co, 
ist unmöglich. 
Das singuläre Integral n—Iter Ord- 
('m. du, de. 
——i._| 1 —L — 0 
dc 2 dc 2 «Cj 
d. h. 
die 2te Gleichung aber gibt; 
-AW-A'(*)^ = 0, 
In jedem Falle also würde man für x 
lediglich eine Constante erhalten. Glei 
ches zeigt sich in derselben Weise für 
die Integrale niederer Ordnung, so dass 
bei allen singuläre Integrale ausge 
schlossen sind. 
Diesem Satze zufolge kann jede 
Function, welche die Gleichungen 1) 
oder 2) verificirt, als particuläres Integral 
betrachtet, und demgemäss mit Hülfe 
desselben die Aufgabe reducirt werden. 
19) Anwendung der Variation 
der Constanten in Astronomie 
und Physik. 
In den Anwendungen der Mathematik 
auf Physik und Astronomie kommt oft 
die Aufgabe vor, Differenzialgleichungen 
zu integriren, welche von sehr compli- 
cirter Form sind , aber einfach werden, 
wenn man gewisse darin vorkommende 
nung wird gefunden, wenn man c l etwa 
aus der zweiten in die erste und dann: 
setzt, wo jedoch c t die durch die 2te 
Gleichung m., =0 bestimmte Function von 
c 2 und x 2 ist. Man hat also: 
oder 
im, de, _ 
de, dx 2 00 ’ 
f.ws! 3 
w.w£j=a 
sehr kleine Grössen vernachlässigen will. 
Man kann dann diese kleinen Grössen 
in der That zunächst vernachlässigen, 
und hierauf eine erste Annäherung grün 
den. Von dieser ausgehend, kann man 
dann die Methode der Variation der 
Constanten anwenden, um zu einer 2ten 
Näherung zu gelangen. 
Es ist dies z. B. der Fall bei der 
Störungsrechnung in der Astronomie. 
Vernachlässigt man die Einwirkung der 
Planeten auf einander als sehr klein ge 
gen die Einwirkung der Sonne auf je 
den derselben, so ist die Aufgabe, die 
Bewegung der verschiedenen Planeten 
zu bestimmen, bekanntlich eine sehr ein 
fache, und diese Lösung kann als erste 
Annäherung betrachtet werden. 
Im Allgemeinen aber lassen sich die 
Gleichungen auf die Gestalt bringen: 
dx, 
dx 
fi {x, z lt x., . . . x^j, x \i x 2 . . . x^) . 
dx 
n 
dx 
-f (^j® )■ 
Wir nehmen nun an, jeder der Ausdrücke f l , f 2 . . ,f, also f g , bestände aus 
2 Theilen G -\-tll , wo s eine sehr kleine Constante, also tll ebenfalls sehr klein 
s s s 
wäre. Als erste Näherung können dann die Integrale der Gleichungen: 
, i dx 
dx t_ r »x 2 n_ 
dx 1 ’ dx 1 dx n 
genommen werden. Mögen dieselben die Gestalt haben: 
*I=7-l(*. «1> «2 • • • «„)» X »—Vi ( X > «1> «2 • • • «„) • • * 
x = u Ix, rf., «„...«), 
wo « t , « a . . , a die Integrationsconstanten sind, und den Bedingungen der 
Aufgabe gemäss bestimmt werden müssen. Um nun eine zweite Näherung zu er 
langen, setzen wir: 
+ «i + *A a . • ■ « n +^ n )> 
wo für s alle Werthe von 1 bis n zu setzen, A,, A, . . . A zu bestimmende 
1 i n 
Functionen von x sind.