Quadratische Factoren. 38 Quadratische Factoren. 
T l = nr'* cos-^- + («—l)r M ~lylcos {^A- y) + ( n ~~ 2)r n ~' 2 iS cos + 2y^ + . . . 
oder 
3 1 , =y^(r+ ( «- 1) } / 2^ il )+^(r 2 + ( «- 2) } / 2ß i2 )+^=(r3 + ( n-3 ) y2C f Q 
+ . . . 
und ein ähnlicher Ausdruck findet auch für U l statt. Damit dieser Ausdruck 
stets positiv sei, muss r grösser sein als der absolut grösste Werth von: 
(n-1)1/2 4, l/(«-2)]/2£, V(n-3')Ÿ2C... 
Dies jedoch ist schon der Fall, wenn, 
wie oben angenommen, r grösser als der 
grösste Werth von A n 2, Î BnY 2, 
3 
y Q n y2 u> s - w - ist, es kann also un 
ser Integral nicht Null sein, und l 2 +u 2 
oder t und u werde gleich Null für einen 
Werth von x, dessen Modul innerhalb 
der Grenzen 0 und ß liegt, wenn man 
ß hinreichend gross nimmt; es ist also 
f{x) einmal gleich Null für einen com- 
plexen Werth von x, was zu bewei 
sen war. 
Dieser Beweis gilt allerdings zunächst 
nur, wenn die Coefficienten der Glei 
chung reell sind, er lässt sich aber auch 
leicht auf den Fall ausdehnen, wo com 
plexe Coefficienten Vorkommen. Seien 
nämlich in 2 A v xp in der That die A 
complexe Zahlen, setze man x = y-\-zi, 
und trenne Reelles und Imaginäres, so 
kommt : 
2A p xP = F(y, z>)+v f (y, z), 
wo die algebraischen ganzen Functionen 
F und y reelle Coefficienten haben. 
Setzt man nun einzeln: 
F(?/,z) = 0, y(j/,s) = 0, 
so lässt sich aus der Verbindung dieser 
Gleichungen, indem man z eliminirt, je 
denfalls nach unserm Satze ein Werth 
von y~a-\-ßi, und das zugehörige 
z = y + cTi ahleiten; es muss dann der 
Ausdruck x — y+z-i — «—cr+i((S+y) die 
Gleichung 
2 ApXP — 0 
erfüllen. 
4) Ist nun f(a 2 ) = 0, so ist als 
f{x) - (x-a t ) (x-« 2 ) (x), 
wo f L (x) eine ganze rationale Function 
von x ist, die einen Grad niedriger als 
f(x) ist. Da auch f\(x) für einen Werth 
von x Null werden muss, so kommt 
f(x) = (x-a l )(x-a 3 )f a (x) 
und indem man so fortfährt 
f(x) = (x—n,)(.£ —« a ) . . . (x — an) C, 
wenn vorausgesetzt wird, dass f(x) vom 
wten Grade ist. C wird dann eine Fun 
ction vom Grade Null, d. h. eine Con- 
stante sein. Es lässt sich aber auch 
leicht beweisen, dass keine andre Zerle 
gung von f(x) in lincäre Factoren mög 
lich ist. Denn sei: 
f(x) = (x-ß t )(x-ß % ) . . . (x-ß n )D, 
so wäre nach dem Obigen z. B. 
f(ßi) = 0; 
da aber 
fCß i)~(ßl ct 1) (ß ä fi 2) • • • (/hi (in) (j 
ist, so müsste einer der Factoren ß l —« s 
gleich Null sein, woraus 
ßi= a s 
folgt, und da dies für jedes ß gilt, so 
sind die ß mit den « identisch. 
Seien jetzt alle Coefficienten von f(x) 
reell. Die Ausdrücke a l , « 2 ... C c n 
können reell oder complex sein. Sei 
z. B. complex und gleich rcosy + 
irsiny, so ist in: 
Quadrat 
nung ist, sich 
tische Factoren 
zerlegen lässt, 
so muss ein 1: 
reell sein, da ji 
die imaginären 
kommen müsse 
5) Nur in -v 
die Zerlegung 
wirklich genau 
testen findet d; 
Ausdruck 
statt, mit dem 1 
wollen. Es sin 
Fälle zu unten 
gegeben: 
Die Gleichung 
x 
führt zu den V 
wo 
wo s einen der 
2 n 2 n 
x —a 
Es sind nämlich 
zusammengestell 
zuletzt genomme 
also: 
( —U 
\x—aß 11 / V 
also : 
f(x) - SA g x s = 2(A s r s cos $'f + iA s r s sin sy) 
sowohl 2A $ r s cossrji als auch 2A s r s e,msrf 
einzeln gleich Null zu setzen, und hier 
aus folgt, dass « 2 = rcos y—ir sin y eben 
falls eine Wurzel unserer Gleichung sein 
muss. 
Jedem complexen Factor von f(x) 
X — a — hi entspricht also ein andrer 
x-a-\-bi, und beide geben das Product 
(x—a) 2 +b'. 
a und b sind hier reell; also alle 
imaginären Factoren lassen zu zweien 
sich auf diese Form zurückführen, von 
den reellen aber immer je 2 ganz belie 
bige sich zu einem quadratischen Factor 
vereinen. Hieraus folgt, dass wenn die 
höchste Potenz von .r von grader Ord- 
2 n 2 n 
x —a 
Sei jetzt 
der zu zerlegende 
von der Form