Quadraturen — Zurück! auf. 460 Quadraturen — Zurück! au! 
du 
dx 
1 ■ , ±_( s JZ i )_ s 
1-2.3... (n-s)\ r 1-2 1-2-3 + “' 
s- 1 s(s-j) . • • 2^ 
+ (-l) 
Es ist aber nach dem binomischen Satze: 
2\ s-l 
1-2 ... (s-i)) 
F(x). 
(1-1) = 1-» + 
«(*-*) 
1-2 
+ (-l) 
s— 1 s (s — 1) 
1-2*..(s-l) 
+ (-l) =0, 
woraus sich augenblicklich ergibt: 
du 
•=(-l) 
(-1) 
dx 
1-2-. 
s— 1 
n—s 1«2* • .(«—s) 
•(«-*) 
** J F(a), 
x F (#) </.r, 
also: 
# l = ^a; n ^F(x) dx—(n—l) x n j' x F(x) dx + 
**-'/*'?№+ ■ ■ ■ H-vr'f 
Führt man noch die Integrationsconstanten ein, so ist dieser Ausdruck zu 
vermehren um: 
n— 1 , n—2 , 
ca; +c t a: -f- 
+ c „x+c 
n—2 1 n— 1 
Dieser Werth von x t Hesse sich auch unmittelbar aus x t = j n F(x) dx n durch 
theihveises Integriren gewinnen. 
23) Zurückführungder nicht linearen aber homogenen simul 
tanen Di ff er enzialgleichungen und der entsprechenden Gleichun 
gen höherer Ordnung mit 2 Variablen auf Quadraturen. 
lieber die höheren Differenzialgleichungen, welche nicht linear sind, lässt sich 
wenig Allgemeines in Bezug auf die Integration sagen. Jedoch treten noch bei 
gewissen anderen Formen wesentliche Reductionen ein. 
I) Denken wir uns zunächst ein System simultaner Differenzialgleichungen 
unter der allgemeinen Form : 
1) 
fi i x , x i, V, 
f j (®> x i > x 1 
dx v 
dxj ' 
dx 
V dx ’ 
dx 
dx ‘ 
dx v 
dx 2 
dx 
. —) 
V 1h’ 
dx 
dx 
f (x, x L , X, 
, , dx 
dx t dx 2 
rt dx ’ dx dx 
0. 
Die Definition einer homogenen Function pter Ordnung von 2 Variablen x. y, 
ff (x, y) haben wir oben dahin gegeben, dass sie die Form annehmen kann; 
7 y)- xV ^P (|). 
Wir definiren jetzt eine homogene Function von n+1 Variablen x, x y 
pter Ordnung dahin, dass sie die Form annehmen kann: