Quadraturen — Zurückf. auf. 461 Quadraturen — Zurückf. auf. 
, , p (x, X., X n\ 
»('■ *■ •• • X ,) = X V(.V m ••• iT 
Setzen wir jetzt voraus, die Functionen auf der linken Seite der Gleichungen 
1) seien homogene Functionen von irgend einer Ordnung von x, x x , x 2 • • • x , 
nicht aber von den Differenzialquotienten. Jede der Gleichungen kann übrigens 
eine andere Ordnung haben. Es gilt dann folgender Satz: 
„Das System 1) lässt sich immer auf ein anderes zurückführen, welches eine 
Variable und eine Gleichung weniger enthält.“ 
In der That nehmen unserer Voraussetzung gemäss die Gleichungen 1) die 
Form an: 
2) 
„ ( x l 
X . 
X 
n 
dx t 
dx 2 
dx \ 
. . n \ 
1 = 0, 
/l \x’ 
X 
• • , 
X 
~&x' 
dx 
dx / 
( x l 
x 2 
X 
X 
n 
x’ 
dx x 
dx ’ 
dx % 
dx 
dx \ 
n I 
dx / 
1 = 0 
/x x x 2 X 1l dx x 
^n\ x' x x’ dx’ 
dx 2 
dx 
dx 
n 
dx 
) =0 ’ 
indem man die heraustretende Potenz von x weglässt. Wir machen nun die 
Substitutionen: 
x x — y x x, x 2 ~y 2 x . . 
dx~ Jl+ dx' 
dx 
so werden sie von der Gestalt sein: 
dx 
x =y x, 
n !> n ’ 
dx du 
n . 3 n 
=»-+*■&’ 
dx 
. du. du 
3 ) d p (yi> y> • • • y n , V2/ a +* — 
dx’ ** 1 dx 
aus welchen sich, wie leicht zu sehen, für die Grössen: 
du 
u n 
dx 
Werthe u. 2 . . . ergeben, die nur y L , y , . . . y n enthalten 
d y„ 
d !>n\ 
X 1S>= 0 ’ 
,^JL, x d JL± 
dx’ dx 
4) 
d jA- u Jjb.- U 
dx l ’ dx~ Wa 
dx 
Indem wir jede der Gleichungen 4) durch eine, z. B. durch die erste divi- 
diren, erhalten wir n—1 Gleichungen von der Form; 
5) 
f ly 2 _ ^2 C hx _ «3 d,J n_ U n 
dyi ~ «i’ dy t ~ m, • ' ’ “«/ 
welche nur y x ,y 2 . . . y n enthalten, also in der That ein System mit einer Va 
riable weniger. Nach dessen Integration gibt jede der Glerchungen 4), z. B. die 
erste: 
£=&■, ig*=fix. 
X M, ./ «J 
Es ist also x durch Quadratur bekannt, und man hat dann auch; 
x x =y lX , x 2 = y 2 x . . . x n = y n x. 
Führt man das System 1) auf eine Gleichung nter Ordnung zwischen 2 Variablen