- Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 469 Quadraturen — Zurückf. auf. 
y_ 
1 aus e x — c (v — n) n 
Wir nehmen dafür 
V i 
i 
also: 
II. Seien wieder n Gleichungen mit 
w+1 Variablen x, xx, ... x und 
1 2 n 
ihren Differenzialen gegeben. 
Setzen wir voraus , dass alle eine der 
Grössen x nicht seihst, sondern nur 
s ’ 
ihr Differenzial enthalten, so kann 
man dx eliminiren, und man hat n— 1 
Gleichungen mit n Variablen, nach de 
ren Integration x g sich durch Quadratur 
ergibt. — Sind in den Gleichungen t 
Variable x , x ..... x , . nicht 
s’ s+l s + i—l 
selbst enthalten, so ergehen sich durch 
Elimination ihrer Differenziale n—t Glei 
chungen mit n— f-j-l Variablen, nach 
deren Integration man noch t Quadra 
turen hat, welche sich vermittelst der 
Gleichungen ergehen, welche für dx g , 
dx .... dx .. gefunden wer- 
S H—1 S "f* t 1 
den. Es tritt aber auch schon dann 
eine Reduction ein, wenn von den n 
Gleichungen nur n—t von x g , . .. 
x , . zugleich aber auch von ihren 
s + i—l 
Differenzialen frei sind. Denn es ent 
halten dann diese n—t Gleichungen nur 
n— i+1 Variable, können also integrirt 
werden. Die übrigen t Gleichungen ent 
halten dann, wenn man nach der Inte 
gration aus den Integralgleichungen die 
Grössen x, x, ... x x , . . . . 
51 s—1’ s—i 
x als Functionen von x bestimmt noch 
n 
s+1 Variablen, und das System zerfällt 
in diesem Falle in eins von n — t und 
eins von t Gleichungen, oder in eine 
Gleichung n—t ter und eine t ter Ord 
nung. 
Anwendungen. 1) Die Gleichung 
nter Ordnung mit 2 Variablen: 
7 s_ h 
dx 
s + l 
d n x 1 \ 
dx 11 / 
= 0, 
verwandelt sich offenbar durch die Sub 
stitution : 
d s x t 
dx S 
f: 
dy 
y©™- 1 
in eine w—ster Ordnuug: 
f 
i «, y, 
d 7 
dx 
nach deren Integration gefunden wird: 
r^ , s 
X t = I y dx , 
wo das s fache Integral von y 
nach dx vorstellt. 
Ist im Besondern die Gleichung: 
id 11 1 x, d n x v \ ^ 
gegeben, so ist zu setzen: 
.n— l 
d 
dx 
n— l 
= 2/> 
eine Gleichung, die immer auf Quadra 
turen führt, da sich daraus: 
dx= AL 
dx * (f'{y) 
ergibt. 
2) Da von den Gleichungen : 
dx t 
dx 
dx 2 
dx 
dx 
dx 
, dx \ 
f\X, ®I» Xs • • • x n' ~dx)~ 0. 
welche einer Gleichung wter Ordnung 
gleichbedeutend sind, die n—1 ersten x 
und x, selbst nicht enthalten, so wird 
die Gleichung immer um eine Ordnung 
niedriger, wenn x oder Xj auch in der 
Gleichung: 
dx j 
dx 
0 
nicht Vorkommen, diese also die Ge 
stalt hat: