Quadraturen — Zurückf. auf. 473 Quadraturen — Zurückf, auf. 
und die Gleichung 3) zerfällt dann in das System; 
4) ^=V(1 — h 2 sin» 2 ), ^~ = — 4(1 — k 2 sin*//"). 
7 dt dt 
Da von l nur das Differenzial vorkommt, so können wir den Anfangswerth die 
ser Grösse beliebig nehmen, und setzen daher fest, dass für auch i = 0 
sein soll. 
Die Gleichungen 4) nehmen die Gestalt an: 
6) (*)’=!-*• sin,.*, (A) =!-»•.tay. 
Durch Sübtraction der zweiten von der ersten ergibt sich: 
(*)'“ (äf)' = ( S "V- sin *')■ 
Der Theil links nimmt auch die Form an: 
dt 
setzen wir also: 
woraus sich ergibt; 
dt ’ 
(.f.-\-xp = u, (f—ip = V, 
u . V 
Sine/. —sm ^1 = 2C0S — sin -, 
. . „ . U V 
Sin if, + Sin Ip — 2 Sin — COS ¿r-, 
A A 
sin (f 2 — sin ip 2 = sin M sin V, 
so wird unsere Gleichung: 
du du , „ . 
6') — — ==— k 2 sin« sinn. 
' dt dt 
Um nun, wie angedeutet, den Grad der Gleichungen 5) zu erhöhen, müssen die 
selben differenziirt werden: 
7) 
d 2 
d*xp _ 
— — k 2 sin-f cos 7, —j— — — k 2 sin xp cos xp. 
Diese Gleichungen werden addirt und subtrahirt, wobei wir die Relationen be 
rücksichtigen : 
2 sin <p cos rp — sin2 <f, = sin (m+ v), 
2 sin ipeos xp = sm2xp~sm(u—v), 
8) 
d 2 u , d 2 v , . 
-—■ = —k 2 Sin U COS V, -rr— = — k 2 Sin 15 cos u. 
dt 2 dt 2 
Die Gleichungen 7) und 8) bilden ein System von 3 Gleichungen mit 4 Varia 
blen, welches sich leicht integriren lässt. Dividiren wir nämlich die Gleichungen 
8) beide durch die Gleichung 6), so ergibt sich: 
d 2 u d 2 v 
dt 2 _ cos® dv dt 1 cosu du 
sinw dt' 
9) 
d. h.: 
du 
dt 
sinu dt ‘ 
du 
dt 
d ( lg = d ^ lg sin d ( lg É") ~ d ^ lg sin 
Man hat also zwei erste Integrale : 
10) 
du . . dv n . 
— = 4sm®, — = B sin«, 
dt dt ’