Quadraturen — Zurückf. auf. 476 Quadraturen — Zurückf. auf. 
jtl + n'+ n f> , . 
d y 0 , z 0 ) 
■ = 1.2...«. 1.2 ... «'. 1.2 ... »' 
7 /e- T /c y /e. 
«*o «*o 
Wir betrachten jetzt zunächst die Dif 
ferenzialgleichung erster Ordnung mit 2 
Variablen: 
4) 
du 
5=«*’ «). 
" n " 
Um die Constante zu bestimmen, setzen 
wir fest, dass für 
2 = z- 0 , u = u 0 
sein soll, und wählen diese Wertbe so, 
dass in der Umgebung derselben f(z, u) 
eindeutig und continuirlich ist. — Setzen 
wir der Einfachheit wegen: 
z—z 0 =x, u—u 0 — v, f{z, u)~F(x, v). 
& ) £ = *(*’ *)’£? 
h 
dxdv dx 
dx 
i_ ^ 2 -F_j_2 dv 
> /inr'Z iirn« /7'V' 
Es wird dann der Anfangswerth von v 
für x = 0 auch =0 sein. Setzen wir 
fest, dass F(x, v) oder — eindeutig und 
continuirlich bleibe für alle Wcrthe von 
v und x innerhalb der Kreise, welche 
mit den bezüglichen Radien q und r 
vom Anfangspunkte der Coordinaten aus, 
welcher x~0 und u=:0 entspricht, gezo 
gen sind, so wie auf den Peripherien 
dieser Kreise selbst. Sei ferner M der 
grösste Modul, welchen in diesem Ge 
biete die Function F hat. Besitzt die 
Differenzialgleichung ein Integral, so fin 
det man durch Differenziiren: 
df ^ d F dv 
dx dv dx’ 
d 2 F/c?tA J ^ dFd 2 v 
dv 4 \dx) dv dx 1 
Nehmen wir jetzt die Differenzialgleichung; 
6) 
dw 
M 
K) (*-”)’ 
in welcher für x~0 auch ?c = 0 sein soll. 
Ganz ebenso wie oben erhält man: 
7) 
dw d 2 w 
= rt <x, ui), ——: 
dx dx 2 
d tf. d ff. dw 
dx dw dx' 
d 3 w 
dx 3 
d 2 
dx 2 
<1 2 
dxdw' dw 
f (dw\ 2 dff. d 2 w 
2 \dx) + 
die dx 2 
so lange die Gleichung 6) ein eindeuti 
ges und continuirliches Integral hat. 
Macht man a; = 0 und «0 = 0, so nehmen 
<f und seine partiellen Differenzialquo 
tienten reelle und positive Werthe an, 
und aus Betrachtung der Gleichungen 
7) ersieht man leicht, dass auch 
d 2 w> d 3 w . 
dx 2 ' dx 3 ’ ’ ’ ree ^ Un< ^ P os,tlv sem 
müssen, wenn man x~-0 setzt. 
Vergleicht man nun die Gleichungen 
5) und 7), so sieht man, dass für zrQ 
der Modul von kleiner als ist, 
dx dx 
u. s. f. 
Wenn also die Functionen v und w 
wirklich vorhanden sind, so sind für 
# = 0 alle Differenzialquotienten von v 
kleiner als die entsprechenden von w. 
Die Function iv aber ist wirklich vor 
handen, denn durch Integration der Glei 
chung 6) ergibt sich: 
o\ u> 3 ,, , /„ 
8) 
Es ist hierbei berücksichtigt, dass w für 
x — 0 verschwinden soll. Hier ist w 
also eine Function von x. Nach den all 
gemeinen Prinzipien über Functionen 
bleibt w so lange eindeutig und conti 
nuirlich, so lange x kleiner als q bleibt 
und die beiden Wurzeln der quadrati 
schen Gleichung, welche w gibt, nicht 
gleich werden. Letzteres ist aber der