Quadraturen — Zurückf. auf. 480 Quadraturen — Zurückf. auf. 
woraus dann 
lungen: 
folgt, dass die Entwick- 
der Ausdruck links in der Gleichung 2) 
Null wird. Es findet dies statt, wenn 
■=(?) 
\dz>/ o 
/dwA 
\ dz / o 
* + 
/ d 2 u 
\<fa» 
*+ 
/d 2 u i 
\ dz 
/.1.2 
) — 
/« 1 • 
h = — 
M 
oder = ■ 
» + 
so lange convergiren, als der Modul von 
z kleiner als R ist, und diese Reihen 
genügen also den gegebenen Differen 
zialgleichungen. — Es ist noch R zu 
bestimmen. Da k mit z verschwindet, 
so bleibt diese Grösse eindeutig, so lange 
als irgend 2 Wurzeln der Gleichung 3) 
nicht gleich werden. Letzteres aber tritt 
ein, wenn der Differenzialquotient in 
Bezug auf k im Ausdrucke links der 
Gleichung 3), oder was dasselbe ist, 
W(iü+Tj [ 1_ ^ r ^ 
Die Function k bleibt dann eindeutig 
und continuirlich bis zu einem Werthe 
R, welchen die Formel gibt: 
ist. Setzt man den kleinsten dieser 
Werthe in die Gleichung 3), so gibt der 
zugehörige reelle und positive Werth von 
z das gesuchte R an. Der Ausdruck 
aber wird einfacher, wenn man die Gren 
zen der Entwickelung etwas verengt. 
Zu dem Ende ersetzt man die Moduln 
r, r x ... durch den kleinsten unter 
ihnen, und die Maxima M, M, ... durch 
das grösste derselben. Dann nimmt 
Gleichung 2) die Gestalt an: 
dk — 
1— z 
und die Integration gibt: 
(1-— h) r 
Sei 
= />, 2)- 
(m + 1) Mq 
d. h. 
-/AI—a ( w + !) M Q\ 
R = ?{ 1 
Man sieht, dass die ganze Entwicklung 
nur die Wiederholung der im Abschnitt 
26) gegebenen ist. 
28) Betrachtung des Falles, wo 
sich auf dem Int e grati onswege 
Discontinuitäten finden. 
Der Fall, wo sich eine Discontinuität 
auf dem Integrationswege findet, kann 
allerdings wie bei den bestimmten Inte 
gralen durch eine beliebige kleine Aus 
biegung vermieden werden. 
Indess ist gerade die Betrachtung die 
ser Discontinuitäten eine Quelle, aus wel 
cher die Erkenntniss höchst wichtiger 
Eigenschaften der Functionen zu schöpfen 
ist. Wenn wir diesen Gegenstand also 
im Allgemeinen in die Theorie der Trans- 
cendenten zu verweisen haben, so be 
schränken wir uns hier auf eine Glei 
chung zwischen zwei Variablen erster 
Ordnung, wo für einen gewählten An 
fangswerth von 2 und u der Differen 
zialquotient —- unendlich wird. Die 
dz 
Ausführung ist dem schon angeführten 
Buche entnommen. 
Wie vorhin führen wir durch Substitu 
tion die Anfangswerthe auf den Fall zu 
rück, wo 
2 — 0, U — 0 
ist. Nehmen wir an, dass für diese 
Werthe 
f(0, 0) = co 
ist, so setzen wir: 
/>, ») = —y—\ 
</' (w, 2) 
und erhalten: 
dz 
wo für z = 0, m = 0 auch q. — 0 ist. Da 
also in der Nachbarschaft dieses Werthes 
<f> continuirlich bleibt, so kann man nach 
dem obigen Verfahren 2 in eine Beihe 
nach ganzen positiven Potenzen ent 
wickeln : 
z — A 0 u + A 1 u + . . . 
Das von u freie Glied verschwindet je 
denfalls, da für u ~ 0, z = 0ist. Nehmen 
wir der Allgemeinheit wegen an, dass 
u u die erste Potenz von u ist, welche 
vorkommt. 
Um a zu bestimmen, entwickeln wir 
auch q (m, 2) in eine Reihe nach Poten 
zen von u und 2: 
y (m, 2) = au m -\-bz+cuz-\-ez* . . . 
wo in eine ganze positive Zahl ist.