Quadratische Factoren. 
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Quadratische Factoren. 
von x frei-, und die entstehenden beiden linearen Factoren werden mit einander 
multiplicirt, man erhält: 
4n+2 _ 2/1+1 2/i + l 4//+2 ( r, 
x + 2a x cosl + rt = I* 2 +2«.rcosl + a 2 I 
(ari — 2«xcos + a 2 ^ ^a; 2 — 2«xcos + a 2 ^ {x 2 — 2axcos 
(*’ ~ 2ax cos shi + “’) (*’ - 2 “ oos 2 ' i ä.+i H +“’) 
(^-2»co S 2, ‘- 1 + ’ , -+„-). 
7) Man kann indess der Zerlegung in df ,df 
quadratische Factoren eine weit grös- ffZ~ ~ l fht 
sere Allgemeinheit gehen, indem man sie also fix) so beschaffen ist, dass derDif- 
nicit allem auf algebraische, sondern ferenzialquotient davon unabhängig von 
auch auf transcendente Functionen bezieht, der Art des unen dlich kleinen Zu 
vorausgesetzt, dass diese lunctionen ein- wac h S es wird, also gleiches Resultat gibt, 
dcutig sind. Also aut Functionen wie man möge denselben als reell, rein ima- 
]/(ai), die 2 Werthe haben, und wie ginär oder complex betrachten. Man 
lg(®)) die unendlich viel Werthe haben, setzt dies in der Regel bei den Functio- 
ist diese Verallgemeinerung nicht zu nen voraus, indessen sind hier einige 
übertragen. Betrachtungen nothwendig, die man un- 
Unter Function von x ist hier jede ter dem Artikel Quantität (imaginäre) 
Grösse fix) verstanden, die der Art von nachsehen möge. Unser Satz für ein- 
x abhängt, dass wenn man x — p-\-rji deutige Functionen lautet nun: 
setzt, also eine cornplexe Grösse dar- Jede eindeutige Function /’(x) von x 
unter versteht: lässt sich auf die Form bringen: 
wo q{x) eine Function von x ist, 
für keinen der Werthe 
x = « t , x — a 2 . . . x = ct g 
Null, und für keinen der Werthe 
X — ß v x — ß 2 . . . X~ß^ 
unendlich wird. Die Ausdrücke « t , .-, 2 
• • • Vn P2 stellen ganze positive Zah 
len vor, die Ausdrücke « sind die Wur 
zeln der Gleichung 
/■(*)=o 
und die Ausdrücke ß die der Gleichung 
Hat also jede dieser Gleichungen un 
endlich viel Wurzeln, so lässt sich aus 
diesen Betrachtungen die Zerlegung von 
fix) in ein unendliches Product hersteilen. 
Ist übrigens f(x) eine mit reellen Coef- 
ficienten versehene Reihe, oder der Quo 
tient zweier solcher Reihen, so lassen 
sich die Wurzeln von fix) = 0 und = 0 
s ' fix) 
in so weit sie imaginär sind, ganz, wie 
oben gezeigt wurde, zu 2en, in quadra 
tische Factoren ordnen. 
8) Zum Beweise unseres Satzes sind 
einige Hülfssätze nöthig, bei denen wir 
auf Betrachtungen Rücksicht nehmen 
müssen, die in dem Artikel: imaginäre 
Quantitäten nachzuschlagen sind. 
Satz I. Jede eindeutige Function von 
x wird wenigstens einmal unendlich für 
einen complexen Werth von x, der je 
doch auch selbst unendlich gross sein 
kann. 
Beweis. Wir setzen hierbei voraus, 
dass die Function nur dann discontinuir- 
lich wird, wenn sie unendliche Werthe 
annimmt. Es lässt sich dann f(x) für 
alle Werthe von x in eine conver- 
gente Reihe nach ganzen positiven Po 
tenzen von x entwickeln, deren Modul 
kleiner ist, als der kleinste, für welchen 
fix) aufhört endlich zu sein. (Siehe den 
Artikel- Quantitäten (imaginäre). Ange 
nommen nun fix) werde für keinen end-