Quadraturen — Zurückf. auf. 487 Quadraturen 
also: 
(-»•(sN 
Zurückf, auf. 
-'s -j- l -’s 1 • 2 • 3 ... s (m-f-1) (m-f-3) ... (»n+2s — 1) 
Es ergibt sich hieraus die Reihenentwicklung: 
y = Aff.(x), 
wo zu setzen ist; 
'/ 0*0 = 1-; 
l(m+ 1) ^"1 •2(»»-J-l)(m+3) l*2*3(»i+l)(m+3)(m+5) 1 
( n\s 2s 
~ 2/ x 
"^1 • 2 . . . s (»i+l)(m+8) . . . (m + 2s —1)^~ ‘ ‘ 
Setzt man dagegen « = !—»*, so kommt man in ganz ähnlicher Weise zu der 
Entwicklung: 
y — Bxf) (x), 
wo zu setzen ist: 
— m+l 
xp{x) — x — 
-m+5 
+ • 
1 *2 (—m + 3) (—m + 5) 
^_«^P x — m + %P + 1 
; + 
"1*1 • 2 . . . p (—»i+3) (—m+5) . .. (—m+2p + 1) 
Geben beide Reihenentwicklungen einen Werth, so hat man offenbar als allge 
meines Integral: 
y~A> f (x) + By(x). 
In der That convergirt die Reihe y (x) immer, wenn m keine negative ganze und 
ungerade Zahl ist, wie leicht zu sehen, die Reihe */>(x), wenn m keine positive 
ganze und ungerade Zahl ist, welche grösser als +1 ist. Mit Ausschluss dieser 
beiden Fälle ist also in unserer Formel das allgemeine Integral enthalten. Selbst 
in diesen Fällen aber haben wir ein particuläres Integral: 
y — A ij (x) oder y—Bip (x). 
Das allgemeine gibt dann die Variation der Constanten. Man erhält, wenn A als 
Function von x betrachtet wird: 
d -l-A< i .'{x)+<f\x) 
dA 
dx ’ 
d % y t /// \ . t / \ dA , ,d 2 A 
7iJÌ = A <f (*) + 2 V (») +7 + 7 (*) 
dx 2 ' K f ' dx 
also durch Einsetzen in die Differenzialgleichung; 
„ , . . dA , s d 2 A in . .dA n 
2 7 W 7 <» +7 = 0 > 
dx 
durch Integration also: 
also: 
x «[?■(*)]* 
A—C C— \~C l , 
J x m [y{x)Y 
y- c f ( x ) f + c i f f (*)i 
J x m [.,\x)Y