Quadraturen — Zurückf. auf. 488 Quadraturen — Zurückf. auf. 
oder wenn m eine positive ungerade Zahl ist: 
y = Crp(x) C —^ + C l ',(x) 
J * w [y.(«)]> 
Diese Formel ist auch dann zu nehmen, wenn m — 1 ist. Obgleich dann näm 
lich beide Reihen convergiren, so werden sie doch identisch, und die Formel: 
y—A<f{x) + B\p{x), 
beschränkt sich auf ein Glied, gibt also nur ein particuläres Integral. 
Es lässt sich für das Integral unserer Gleichung aber noch eine andere, oft 
vortheilhaftere Reihenentwicklung geben. 
Setzen wir zu dem Ende: 
y = A x cc ff (x) + A, x n '^ , '/(x) + A 1 x a+ "(f' r {x)+ . . 
wo A, A lt A. 2 ... zu bestimmende Constanten, y. (#) eine Function von x, 
y'0*0, 'f " ( x ) ... die Differenzialquotienten derselben sein sollen. 
Man erhält durch Differenziiren; 
— ^L — mAax n "y (x) -\-m A v («-f 1) x Ci , y / ( x ) +mA 2 {a+i)x a if"(x)+ . .. 
x dx 
+mAx a '(«)+»» A t x U (f ”(x)+ . . ., 
( l-^ = Aa (u— \)x c< ’y(x)-\-A v («+1)«.*“ 1 y'{x)+A a («+2) (« +l)x cc <f. f ’(x) +.. 
dx 2 
+2 A n x c< 1 y/(a;)+2 A] (« + ') x a (f/ f (x)A- . . . 
+ A x a y " (x) + . , . 
Dies in die Differenzialgleichung einsetzend, und den Coefficienten des mit 
x n+p — ^ multiplicirten allgemeinen Gliedes gleich Null setzend, erhalten wir; 
[(“ +p) («+p+m—l) Ap+(2 «+2/J+m—2) _ { + A ^ >/ p \x) 
+ nÄ p-2 <f> ^ ~ ~\ x ) = 0> 
für jeden Werth von p, der grösser als 1 ist. 
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn man setzt: 
(«+/>) (« p+m—1) Ap+(2 «+2p+m—2) A _ t = 0, 
und gleichzeitig: 
<f№ (x) + n (f (p (x) = 0. 
Wegen der Willkürlichkeit der Constanten und der Function y sind offenbar diese 
Annahmen gestattet. Die letzte Gleichung wird offenbar für jedes p erfüllt, wenn 
man setzt; 
<f."(x) + ntf,{x)z=. 0, 
und das allgemeine Integral dieser Gleichung ist: 
y (a;) = Csin(a:yw)-|-C l cos (a:yn). 
Setzt man jetzt, auch die Coefficienten der mit x a ~ 1 und x a ' multiplicirten 
Glieder gleich Null, so kommt: 
«(«—l)+»i« = 0, A, («+!)(«-}-«&)-)-A(m-b2of) = 0. 
Die erste Gleichung gibt: 
«=0 oder a — l — m, 
die zweite in jedem der beiden Fälle: 
A l = -A. 
Sei zunächst: 
« — 1—m,