Quadraturen — Zurückf. auf. 493 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Setzen wir hierin : 
so ergibt sich: 
A + B = C, d{A-B)~2E, 
oder da C und E endlich, cf aber unendlich klein sein soll: 
dB=-E. 
Durch Einsetzen dieser Werthe erhält man: 
r- 
f .n 
I cos {x\nQ.os co) [C+ß lg (#sin w 2 )]dco. 
/ 0 
Auf die hier behandelte Differenzialgleichung wurde die Riccatische (VII des 
vorigen Abschnitts) zurückgeführt. Nehmen wir wieder die Gleichung: 
d 2 u . m 
-r— —Ax u, 
dx* ’ 
woraus sich die Riccatische ergab, so ist das allgemeine Integral derselben also 
immer in der Form eines bestimmten Integrals zu finden, wenn 
zwischen 0 
m-\- 2 
und 2 liegt. Diese Bedingung ist immer erfüllt, wenn m positiv ist. Ist in aber 
negativ, so geben die Grenzbedingungen, wenn man m — — s setzt: 
s ^2 >0 ’ ^2< 2 ' 
offenbar: 
s> 2 und s>4, 
also bei negativen m findet die oben gegebene Form noch dann statt, wenn m 
zwischen —4 und —co liegt. Macht man die im vorigen Abschnitte gegebenen 
Substitutionen, so erhält man in diesen Fällen: 
m. O. 
-+i 
u = A I cos {¡xx " i cos w) sin co 2 doi 
* 0 
tn ^ 2 
+ Bx I cos (p 2 i cos w) sin 
J 0 
wo gesetzt ist: 
Durch Wegschaffen des Imaginären erhält man: 
in m 
TT+ 1 
1' / ü* cos co . —ux~ cos w, ,, . tn-\- 
m= j {e" + e “ )(4smM 
0 
i * m 2v j 
+fosm(o )d(o. 
Das Verhältniss — ist dann die einzige in dem Integral der Riccatischen Glei 
chung vorkommende Constante. 
In den Grenzen 0 und —4 für in hat man nur ein particuläres Integral, 
welches man erhält, wenn man bezüglich den mit A oder B multiplicirten Theil 
der Null gleich setzt. Das allgemeine Integral der Riccatischen Gleichung gibt 
dann die Formel: