Quadraturen — Zurückf. auf. 495 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Ist 
e P x (c 2 —p^) ~ m — 0. 
positiv, so wird diese Gleichung erfüllt, wenn 
p = +c oder = — c 
ist. [Der Werth p = oo gibt im Allgemeinen kein Resultat, weil ja x auch ne 
gativ sein kann.*)] Nehmen wir also — c und -fc als Integrationsgrenzen, so er 
gibt sich: 
wi+ l 
V 
=v 
.+c 
C P M ( C 2__p2) 
dp 
A C (e P u -\- e P u {c' l —p' 1 ) 
j 0 
m-\- 1 
im 
dp, 
oder wenn man für p setzt cq: 
nl 
r- 
A f - 9 ‘ 
J o 
m+ i 
2 m 
dq, 
wo die Constante A einen andern Werth als vorhin hat. Es ist dies ein parti 
culares Integral. Indess findet man unter gewissen Bedingungen ein zweites, 
wenn man in die gegebene Differenzialgleichung setzt : 
1 
Es wird dieselbe dann: 
y~mx s. 
d 2 z, m4- 1 dz, 
Ti + ^- = c2 2. 
dx 2 mx dx 
Diese Gleichung aber hat die Form der ursprünglichen, wenn man in derselben 
m mit — m vertauscht. Ist also 1 -- positiv, so erhält man ganz wie oben: 
-2— = B f ' (e cc > u + e~ CCJU ){l-q*) 
1 J ¡\ 
ni — l 
2 »i 
dq. 
Finden also beide Bedingungen stast, so ist der allgemeine Werth von y: 
m+ 1 «t— 1 
y = ( c c 9« + e“ C9M )[^(l-yQ _ ^ r + ß(l-i a ) - m ]dq. 
o 
Setzt man: 
tu— 1 
so ist: 
m-f-1 
:2 — 11. 
*) In der angeführten Abhandlung nimmt Lobatto irrthümlicher Weise die 
Grenzen c und oo als allgemein gültig. Dieser Fall ist aber ein trefflicher Beleg 
dafür, wie das Resultat sich mit der Auswahl der Constanten ändert. Sind diese 
so gewählt, dass x positiv bleibt, so kann das Integral auch in den Grenzen 0 
und oo genommen werden, sonst nicht.