Quadraturen — Zurückf. auf. 496 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Bei positivem n ist nun dieser Ausdruck 
immer positiv, wenn n kleiner als 2 ist 
und in diesen Fällen findet der Aus 
druck für das allgemeine Integral statt. 
Ausserhalb dieser Grenzen ist, wie leicht 
zu sehen, entweder der mit A oder der 
mit B multiplicirte Theil ein particula 
res Integral der vorgelegten Gleichung. 
Der Fall, wo n imaginär ist, würde je 
doch andere Betrachtungen erfordern. 
III) Schliesslich, um auch die Inte 
gration einer hohem Differenzialglei 
chung durch bestimmte Integrale zu zei 
gen, entnehmen wir der angeführten Ab 
handlung noch die Behandlung der 
Gleichung: 
d u 
—- —x ii : 
dx il 
mit der Bemerkung, dass das Resultat 
schon früher durch Scherk mittels der 
Summation von Reihen gefunden, und 
direct durch Jakobi verificirt worden ist. 
Wir setzen: 
V-J'e pX Pdp, 
wo P wieder eine Function von p sein 
soll. Es ist dann: 
also wenn man in die ursprüngliche 
Gleichung einsetzt: 
J‘ r * Pp n dp— j'e px x Pdp — n, 
oder, wenn man das zweite Integral theil- 
weise integrirt; 
- e P x P+fe px [Pp n dp + dP]=a. 
Die Gleichung ist erfüllt, wenn man 
setzt: 
Pp 1 dp -f- dP = 0, 
und: 
e^ X P v 
— ae 
n-\-1 
Pt 
M+ 1 
PlX 
e 
ist, so verschwindet derselbe für p, 
immer, wenn : 
00 
n+ 1 
Pi 
n+ I 
-p x X 
positiv ist, d. h. wenn: 
7G M >(«+ <)« 
ist, eine Bedingung, welche für unend 
liches immer zu erfüllen ist, da n 
eine positive ganze Zahl sein muss. Man 
hat also das particulare Integral: 
p n+X 
y = af' QC e~ n + l e px dp. 
J 0 
Stellt nun f irgend eine n-f-lte Wur 
zel der Einheit vor , so ändert sich P 
nicht, wenn man sp für p setzt, und 
man hat also n-\-1 particulare Integrale 
von der Form; 
p n+l 
y — at r e 1 e spx dp. 
J 0 
Ist * eine primitive Wurzel, so ist in 
dieser Formel f nach und nach zu ver 
tauschen mit: 
f ,**,*•••«• 
Da nun jedes dieser particulären Inte 
grale der Gleichung: 
,n 
d // 
—i—xy-a 
dx n 
genügt, so ist zu sehen, dass die Summe: 
n-\- i 
y=f CC e n+1 dp[Ce px +C lg e fpx 
J 0 
V 
e P l x Pi _p 0 x F ^_ (li 
wo p„ p 0 , P„ P 0 die Werthe von p,P 
an den Integrationsgrenzen sind. Die 
erste Gleichung aber gibt integrirt: 
_p n+i 
P-Ce n+l , 
und die zweite wird erfüllt, wenn man 
setzt : 
p v = cß, p o =0, C-a. 
Da nämlich der erste Theil ; 
+ C 2 s 2 e p x-\- .. .-{-C n t l e t px ] 
genügen muss der Differenzialgleichung: 
i ^l-xyz=C + C v +C. 2 -\- . . . +C n . 
dx n 
Damit diese mit der gegebenen überein 
stimme, ist zu setzen: 
C+C,+C 2 + ■ . ■ +C n =a, 
eine Bedingung, welche die n-j-1 Con-