Quadraturen — Zurückf. auf. 497 Quadraturen — Zurückf. auf. 
stauten auf n reducirt, wie es auch sein 
muss, da die vorgelegte Gleichung nter 
Ordnung ist. 
und der Integrale ist 
gen Variablen 
gleich 3. 
Es müssen nämlich, wenn x allein un 
abhängige Variable ist, zwei Integral 
gleichungen stattfinden, welche y und z 
„i„ t? geben. Sind x 
von 
als Functionen 
und y unabhängige Variablen, so ist 
eine Integralgleichung gefordert, 
nur 
31) lieber eine Differenzial 
gleichung mit 3 Variablen. 
Bei allen bis jetzt behandelten Auf 
gaben war die Anzahl der gegebenen 
Differenzialgleichungen um Eins kleiner welche z als Function von x und « gibt! 
als die der Variablen. Es konnte daher Ein dritter Fall ist unmöglich 
eine der letzteren als unabhängige Va- I} Nehmen wir zunächst den letzten 
nable betrachtet werden, und die Anzahl Fa]1 an dass also 2 unabhängige Va- 
der Integrale war gleich der der gege- riablen Ä und vorhanden siad . Wir 
benen Gleichungen. Die Sache wird schreiben dann unsere Gleichung folgen- 
aber anders, wenn diese Bedingung nicht de rmaassen: 
mehr erfüllt ist. 
Zunächst wollen wir uns auf den ein 
fachsten Fall einer Gleichung mit 3 Va 
riablen, von der Gestalt: 
Xdx+Ydy+Zdz = 0 
beschränken, wo X, Y, Z Functionen 
von x, y, z sind, um in den nächsten 
Abschnitten die gefundenen Resultate 
möglichst zu erweitern. 
Die Frage stellt sich hierbei zunächst: 
. X Y 
d y, 
eine Gleichung, welche offenbar gleich 
bedeutend ist mit dem System: 
dz X dz _ Y 
dx Z ’ dy Z ’ 
Differenziirt man aber die erste Glei 
chung nach у (mit Berücksichtigung, däss 
auch die Grösse z, welche in X, F, Z 
„Wie viel unabhängige Variablen sind enthalten ist, als Function von x und у 
unter diesen dreien vorhanden? 1,1 betrachtet werden muss, da ja das Inte- 
Offenbar ist nach Bestimmung dersel- gral z als eine solche Function ergeben 
ben auch die Anzahl der Integrale be- muss), und die zweite nach x, so erhal- 
kannt, denn die Summe der unabhängi- ten wir gleiches Resultat, nämlich: 
(ÖX , dXÖz\ „/iZ dZ dz\ 
\dv + dz dy) + \dy + dz dy) 
d*Z 
dx dy 
z( d I+ d J. ( h) +Y + — ¥) 
\dx dz dx) \dx dz dx) 
_ 
dz <5; 
hieraus folgt, wenn manchen gemeinschaftlichen Nenner weglässt, und für 
die Werthe setzt: 
/dX dY\ /dZ dX\ v /dF dZ\ . 
Dies ist eine Bedingung, welche durch 
die Coefficienten X, F, Z erfüllt werden 
muss, damit z eine Function von x und 
y sei, also die vorgelegte Gleichung nur 
ein Integral habe. Man nennt sie „Be 
dingung der Integrabilität“, obwohl nicht 
ganz passend, da eine-Integration der 
Gleichung in jedem Falle möglich ist. 
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so 
lässt sich die Auffindung dès Integrals 
leicht in folgender Weise bewerkstelligen. 
Da in der vorgelegten Gleichung z 
als Function von x und y zu betrachten 
ist, so kann man zunächst y constant 
denken. Sie nimmt dann die Gestalt an: 
Xdx-\-Zdz = 0, 
eine Gleichung, welche nur die Variablen 
X und z enthält. Man integrirt dieselbe. 
Die willkürliche Constante des Integrals 
kann jedoch eine Function der als con- 
stant gedachten Grösse y sein. 
Dem Integrale gibt man am passend 
sten diejenige Form, welche wir in Ab 
schnitt 9) als Hauptintegrale bezeichnet 
haben, d. h. wir geben x eine beliebige 
Zahl, etwa Null oder allgemeiner x 0 als 
Anfangswerth, und bezeichnen z 0 als zu 
gehörigen Werth von z. 
*o = </(*) z ) 
ist dann das Hauptintegral. — Wieder 
holungsweise bemerken wir, dass sich 
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