Quadraturen — Zurückf. auf. 500 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Die Coefficienten A, B, C, E, F müssen 
also beide Bedingungsgleichungen 5) 
und 6) identisch machen, damit ein In 
tegral der Gleichung 1) genügen könne. 
Uebrigens ist es nur nöthig, dass eins 
der beiden Systeme erfüllt werde, welche 
entstehen, wenn man überall in 5) und 
6) die untern oder die obern Zeichen 
nimmt. Jedoch darf man nicht etwa 
in 5) die untern und in 6) die obern 
Zeichen nehmen. 
Sind aber diese Bedingungen der In- 
tegrabilität erfüllt, so ist die Lösung wie 
in 1) zu machen. 
Man denkt zuerst y constant, und 
erhält: 
dz 2 + A dx dz — Cdx 2 . 
Sei: 
*o V> *) 
das Hauptintegral dieser Gleichung, wo 
der Anfangswerth von x gleich der Zahl 
x 0 angenommen ist. Man hat dann 
noch zu integriren die Gleichung: 
dz 0 ' l + B o dy dz 0 =F 0 dy 2 , 
wo B 0 , F 0 sich aus B, F ergeben, 
wenn man darin x, z mit x 0 , z 0 ver 
tauscht: Aus dem Integral dieser Glei 
chung, welches sein soll: 
f (y, *o) = «> 
und aus dem Hauptintegral der ersten 
ist dann wieder s 0 zu eliminiren. 
Man sieht, wie diese Methode An 
wendung findet, wie hoch auch die Di 
mension der Differenziale sei, dass sich 
aber mit derselben auch die Anzahl 
der Integrabilitätsbedingungen vermehren 
muss. 
Wären in Gleichung 1): 
A = B- 0, 
so dass diese also lautet: 
dz 2 = Cdx" + Edx dy + Fdy 2 , 
so wären die Gleichungen 3) von der 
Gestalt: 
p 2 = C, q 2 = F, 2pq ~ E. 
Die erste Bedingung der Integrabilität 
ist dann: 
E 2 =4CF, 
eine Bedingung, welche offenbar bewirkt, 
dass 
dz 2 ={\C dx ±}F dy) 2 
wird. In diesem Falle ist also: 
dz~y C dx + yF dy, 
und die Gleichung ganz so wie in I) 
zu behandeln. 
32) Heber eine Gleichung mit 
n Variablen von der Form: 
A. dx f +A.,dx, + • • • 4-A dx =0. 
Die Gleichung, wo die Differenziale 
dx., dx, . . . dx in linearer Form vor- 
u i n 
kommen und A., A„ ... A willkür- 
12 n 
liehe Functionen von x. , x„ . • . x 
1,2 n 
sind, hat in ihrer Allgemeinheit zuerst 
Pfaff behandelt, sie wird daher auch oft 
als Pfaff’sche Gleichung bezeichnet. Einer 
weitern Untersuchung hat sie Jakobi 
(Crelle’s Journal, Band 2 und 17) un 
terworfen. Die hier trotz möglichster 
Kürze mit einiger Vollständigkeit zu 
gebende Behandlung wird sich an die 
jenigen Untersuchungen anschliessen, 
welche der Verfasser dieses Wörterbuchs 
darüber angestellt hat. (Crelle’s Journal 
Band 58.) 
Wir setzen zu dem Ende : 
1) X l dx l +X 2 (/.'c a -f • • • +X n dx n 
s~n 
- 2 X dx =0, 
. s s ’ 
S— 1 
und stellen zunächst die Frage, wie viel 
Integrale dieselbe im allgemeinen Falle 
habe, d, h. wenn zwischen den Grössen 
X l} X s , . . X n keinerlei Bedingungs 
gleichungen stattfinden. Wir bemerken 
noch, dass eine Auflösung der Gleichung 
desto allgemeiner ist, aus je weniger 
Integralen sie besteht, da je mehr Inte 
grale gegeben sind, desto weniger von 
den Grössen x willkürlich bleiben. 
Wir unterscheiden jetzt, wie schon frü 
her, die beiden Differenzialzeichen d und 
cT derart, dass wir d dann nehmen, wenn 
wir einen Theil der veränderlichen x 
von den andern als derartig abhängig 
betrachten, wie es durch die Integral 
gleichungen angezeigt wird. 
Betrachten wir aber die x als völlig 
unabhängig von einander, so bedienen 
wir uns des Zeichens J, während also 
X X $ dx g immer gleich 0 ist, ist dies mit 
2 X dx nicht der Fall. Indessen kann 
s s 
man, während die x ganz beliebig sind, 
n neue Variablen einführen, welche be 
liebige Functionen der x sein sollen. 
Wir theilen diese neuen Variablen aber 
in zwei Gruppen, die eine aus p Glie 
dern, f t , t 2 . . . { , die andere aus q, 
M,, « a . , . « bestehend, p und q sind 
nicht bestimmt, jedoch natürlich immer