Quadraturen — Zurückf. auf. 503 Quadraturen — Zurückf. auf. 
wo V allein die erste unabhängige Variable i, enthalten soll, die Grössen a aber 
nur Functionen der übrigen i 2 , i 3 . . . t n sind. Es ist dies z. B. der Fall, wenn 
man setzt: 
n t, t, 
. t ’ 
d. h.: 
I. = 
t.= 
-Ei 
f/. 
t =- 
Gleichungen, durch welche die unabhän 
gigen Variablen l vollständig bestimmt 
werden. 
Setzt man noch 
und multiplicirt die Gleichung 5) des 
vorigen Abschnitts mit A, so erhält 
man; 
7) 2 AXdx=: 2cc du, 
und: 
. dx r, 
8) ¿AX ^=0. 
Die Gleichung 8) findet darum statt, 
weil die Grössen u 2 ... u von f, 
CUr 
unabhängig, also -^- = 0 ist.—Betrach 
tet man i, jetzt allein als unabhän 
gige Variable,, so sind die Grössen 
« , u,, u, ... m von t. un- 
l n’ 15 1 n 1 
abhängig, also bei dieser Betrachtungs 
weise als constant zu denken. Diese 
2n— 1 Grössen sind mithin Integrale der 
Gleichung 8) (wenn nämlich, wie hier 
angenommen wurde, —1 ist. Bei an 
dern Annahmen wäre auch «, ein In 
tegral, es fände aber dann zwischen den 
« eine Beziehung statt, vermöge deren 
«, als eine Function der übrigen sich 
ergäbe). 
Wir führen jetzt noch das Differenzial- 
zeiehen d ein, welches immer andeuten 
soll, dass nach der ersten der unabhän 
gigen Variablen, also hier nach 1 1 diffe- 
renziirt worden ist, während, wie eben 
gezeigt, d auf ein Differenziiren nach 
jedem f, d auf ein ganz beliebiges Diffe 
renziiren geht. Der Ausdruck rechts in 
Gleichung 7) ist nun, wie wir gesehen 
haben, von ganz unabhängig, daher 
sein Differenzial d gleich 0, d. h : 
ö(IiÄ)=0. 
Die Gleichungen 8) können wir jetzt 
auch schreiben: 
2 {AX dx) t= 0, 
da d so gut wie der Differenzialquotient 
ox 
x— nur Differenziiren nach t, andeutet. 
di, 1 
Denkt man sich nun unter den x, wie 
doch hierbei geschehen muss, die bezüg 
lichen Functionen von i,, so ist diese 
letztere Gleichung offenbar identisch, 
und daher auch ihr Differenzial nach 
einem beliebigen Gesetze genommen. 
Man hat also: 
d {2AXdx)=0. 
Offenbar aber erhält man durch theil- 
weises Differenziiren: 
d(2AXdx) = 2d(AX) dx + i; AXd dx=A2dXdx + d A2Xdx + 2AXd dx-, 
es ist aber: 
also: 
Ferner hat man : 
A'Xda: = 0, 
d {2 AXdx) = A 2 dXdx+2 A X d dx = 0. 
d {2 A X dx) = 2 AX à dx+A d ( AX) dx = 0, 
und durch Subtraction der beiden letzten Gleichungen : 
9) 2d{AX)dx = A2 dXdx. 
Da die Differenziale dx t , dx 1 . . . dx 0n ganz willkürlich sind, so müssen die 
mit einem jeden derselben multiplicirten Glieder auf beiden Seiten der Gleichung 
9) einzeln gleich sein. Dieselbe zerfällt sonach in 2n andere Gleichungen :