Quadraturen — Zurückf. auf. 506 Quadraturen — Zurückf. auf. 
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m 
gration führt auf ein System von 2n — 2 
Differenzialgleichungen, welches wir mit 
11a) bezeichnen. Es geht aus 11) da 
durch hervor, dass man darin die beiden 
ersten Gleichungen ganz fortlässt, und 
in den übrigen x t , x ± ... x n _, X, 
2 tl' 
X„ , A vertauscht mit x 
2 n 4 ’ 
, a 4 . . . 
habe nun 
X„ , A,. Das 
2 n 2 
die Hauptinte- 
und der Werth 
' ‘ ‘ 2n’ 
System 11 a) 
gräle xj', x 5 " . . -x" 2n 
von A 3 für £ 3 ' = 0 sei A 2 ', so hat man 
ganz wie oben: 
XA 2 X'dx' = XA 2 'X"dx". 
Man setzt u 2 =x i " einer Constanten 
gleich, so ist zu integriren die Gleichung: 
XX"Ar" = 0. 
Diese zerfällt wieder in ein System von 
2n — 4 Gleichungen, welches der Glei 
chung 11) analog ist und das wir mit 11b) 
bezeichnen. Es entsteht aus 11), indem 
man die ersten 4 Gleichungen weglässt, 
für . . . x 2n , X 5 . . . X 2n , A aber 
schreibt: x K ”, x." . . . x"„ , X. . . 
integrale der verschiedenen Systeme wer 
den gebildet, indem man nach und nach: 
x x ’ x " x 
D 3 5 2n—l 
der Null oder einer andern Zahl gleich 
setzt, und jedes System gibt ein Integral 
der Gleichung 5), nämlich: 
U l =x 2 ', u—x." . . . U =X a ( n \ 
1 4 1 * n ln 
Wir wollen noch die Grösse A der 
Uebereinstimmung wegen mit A t be 
zeichnen. 
Schon im Abschnitt 9) haben wir eine 
Variable, die nicht selbst, sondern deren 
Differenzial allein in dem gegebenen 
System vorkommt, als Index des Systems 
bezeichnet. Wir wollen diesen Ausdruck 
hier so erweitern, dass wir eine Variable 
noch dann Index nennen, wenn nur das 
Differenzial einer Function von ihr in 
den Gleichungen vorkommt. In den 
Gleichungen 11) kommt nun nur: 
()A ii A 
-r = olg A, 
X" 0 , A 3 . Dieses System 11b) möge 
vor, und somit ist A und in den Syste 
men 11a), 11b) . . . also auch A 2 , 
nun zu Hauptintegralen haben: A ? * *. ’ ei * Index ' Jeder I^ex hat, 
* u. s. w. Man hat also nach und WI ® , n0ch ennnern wollen, die Eigen- 
2n schalt, dass er ohne Erhöhung des Sy- 
nach zu integriren die Systeme 11), 11 a), stems eliminirt werden kann. Zieht man 
11b), 11c) u. s.w., im Ganzen n Systeme nämlich in 11), nachdem durch A divi- 
mit bezüglich en, 2n—2, 2n—4 ... 2 dirt ist, eine Gleichung von allen übri- 
Variablen (mit Ausschluss der Grössen gen ab, so ist d lg A verschwunden. 
A, A,, A s . . ., die sich immer nach Nach der Integration der so gebildeten 
Auflösung der übrigen Gleichungen durch Gleichungen gibt eine beliebige der Glei- 
blosse Quadratur ergeben). Die Haupt- chung 11), z. B. die erste: 
,dX 
O lg A: 
P 
\dx 
y 
und da mittels der Integrale alle x als Functionen einer dieser Grössen bestimmt 
werden können, hat man; 
„ 1 /dX 
fx[ S (¿tef' 
¿x.\ dx 
dx, dx I 1 
P 
A = e 
Es ergibt sich also der Index eines Systems immer durch blosse Quadratur. 
Die Gleichung 11a) lautet nun: 
XXdx=^-(X 2 'dx 2 +X/dx s '+ . . .). 
A i 
Man hat ferner, wenn man das eingeschlagene Verfahren wiederholt: 
P P 
u. s. w., also schliesslich: 
p = 2n A , 
X X 'dx ' = ^~ (X”dx i ”+x i "dx i "+ . . .) 
P= 3