Quadraturen — Zurückf. auf. 510 Quadraturen — Zurückf. auf. 
In der Gleichung: 
s~2n 
2 X dx =2 Udu 
s s 
S — 1 
kommt die erste veränderliche i, nur 
als gemeinschaftlicher Factor der Grössen 
U vor, und dies war der Grund, dass 
die 2 n — 1 Integrale des Systems 11) 
ausser den u noch aus den Verhältnissen 
U t U 3 U n t 
—, — . . . - bestanden. 
i i U i 
Ist nun die Anzahl der Grössen u, 
also der Integrale der Gleichung 2Xdx — 0 
kleiner als n, etwa n — q, und eben so 
ÒX dx 
P < 
ÒX ÜX 
s p 
gross selbstverständlich auch die der U, 
so hat man nur 2m—2^—1 Integrale 
des Systems 11). 
Es kann also dies System 11) in die 
sem Falle auch nur aus 2m—29 — 1 Glei 
chungen bestehen, da sich nur soviel 
von einander unabhängige Gleichungen 
durch Differenziiren der Integralgleichun 
gen ergeben, und es folgt hieraus, dass 
2q von den 2m—1 Gleichungen des Sy 
stems 11) Folgen der übrigen sein müssen. 
Dieser Bedingung wollen wir zunächst 
einen analytischen Ausdruck geben 
Zu dem Ende schreiben wir mit Ja 
kobi : 
= (P, *). 
und die Gleichungen 11) haben dann die Gestalt: 
20) X t ÖA — Ä2 (p, 1) dx 3 
X a dA — Ä2 {p, 2)«5ay 
x 2n dA = Ax (P, 2m) dx p , 
wo die Summen auf alle Werthe von p, von p — 1 bis p — 2« gehen. Ausserdem 
ist offenbar: 
(p, s)= — (s, p), (p, p) = 0. 
Damit die 2q letzten dieser Gleichungen Folgen der übrigen sind, muss man die 
Coefficienten von dx t . . . dx und dA in diesen letzten Gleichungen, der Summe 
der entsprechenden Coefficienten der 2m—2q ersten Gleichungen, wenn man die 
selben mit zu bestimmenden Grössen multiplicirt, gleichsetzen können. 
Es ist also für jede Zahl r, die der Reihe 2m—2g+l, 2m—2q+2 ... 2m 
entnommen ist: 
21) 
Q = 2n-2q , v Q = 2n—2q / \ 
.= 2 O X , {p, r)= 2 
wo p jede Zahl von 1 bis 2m vorstellt. 
Die Grössen : 
(8H-2J+1) r/ (2M-2 ? +l) 
2M — 2q 
(2M—2q-\- l) 
sind als unbekannte Grössen zu be 
trachten. 
Für jeden Werth von r hat man hier 
nach also 2m-fl Gleichungen, und wenn 
man aus diesen die entsprechenden «, 
an Anzahl 2n—2q, eliminirt, so bleiben 
noch 2q+\ übrig, und da r 2q ver 
schiedene Werthe annimmt, so würde 
. . . „ ( 2n ) 
2n—2q 
man im Ganzen 2 q (2q -fl) Bedingungs 
gleichungen zwischen den Grössen X 
haben, welche anzeigen, dass die Glei 
chung lX(te = 0 nur n—q Integrale 
habe. 
Stellten wir uns die allgemeine Auf 
gabe, n Gleichungen mit n-\-p Varia 
blen zu integriren, und nähmen wir an,