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Quadraturen — Zurückf. auf. 511 Quadraturen — Zurückf. auf. 
dass ein solches System nur n Integrale habe (die Anzahl der Integrale der der 
Gleichungen gleich sei), so sind hierbei ebenfalls gewisse Bedingungsgleichungen 
zu erfüllen. 
Sind nämlich x t , x a . . . x n , y,, y 2 ... y die Variablen des Systems, 
so geben die n Integrale alle n Grössen x als Function der/? Grössen y; die letz 
tem sind also unabhängige Variable. Ist somit: 
r~n 
X X dx 
r~ I r ‘ 
eine Gleichung des Systems, so ist: 
r~n dx 
X X _-~Y . 
r= t r «2/ c s 
1 i ty i + + • • • Ypdyp, 
lässt, so ist die Anzahl dieser Bedin 
gungen offenbar \np (p— l). 
Setzt man z. B. n = l, p — 2n~1, so 
wird diese Anzahl: (2n —l)(n—1). 
Die Gleichung zerfällt also in p andere, Dieser Fall stimmt mit dem unserigen 
und da das System aus n Gleichungen überein, wenn man ein Integral voraus- 
besteht, so hat man deren np, welche setzt, also n — q — 1, q — n —1 setzt. 
d% r Die Formel 2</(2</+1), d ie wir für 
hinreichen, die np Grössen -r— zu be- die Anzahl der Bedingungsgleichungen 
% fanden, gibt dann: 2 {2n—1) (n—1), also 
stimmen. Nimmt man die Ausdrücke die doppelte Anzahl der auf anderem 
dx dx _ Wege gefundenen Bedingungsgleichun- 
für zwei derselben ^ und —, diffe- S en > — Es löst sich dieser Widerspruch 
vy s vy g dadurch, dass von den aus 21) folgen- 
renziirt den ersten nach y ' den zwei- Bedingungsgleichungen immer die 
s Hälfte wegfallt, mithin deren Zahl nur 
ten nach y g , so erhält man zwei Aus- q{2q + l) ist. 
drücke, die einander gleich sind. Jede Um dies zu zeigen , wollen wir den 
dieser Gleichungen ist eine Bedingung entwickelten Ausdruck für die Bedin- 
für das Vorhandensein von n Integra- gungsgleichungen bilden, d. h. aus den 
len, und wenn man r alle Werthe von Gleichungen 21) die « eliminiren. Die 
1 bis n, s alle von 1 bis p annehmen Resultate in Determinantenform sind; 
(1, 1) (1, 2) (1, 3) . . . (1, w) (1, r), 
(2, 1) (2, 2) (2, 3) . . . (2, ir) (2, r) 
22) 
22 a) 
(m>, 1) (w, 2) (w, 3) . 
(v, 1) (v, 2) (v, 3) . 
(1, 1) (1, 2) (1, 3) 
(2, 1) (2, 2) (2, 3) 
(«5, 1) (w, 2) (w, 3) 
I) -^2) X 3 
Jede der Zahlen r und v kann die 
Werthe von 2n—2q + l bis 2n anneh 
men. ic ist immer gleich 2n—2q. 
Die Anzahl der Gleichungen 22) ist 
also 4</ 2 , die der Gleichungen 22a) 2q, 
was zusammen 2^ (2^ +'l) Gleichungen 
gibt. Jedoch fallen von dem System 22) 
eine Anzahl Gleichungen weg. 
Zunächst ist (p, s) = —(s, p) und die 
= 0. 
= 0. 
(w, Ui) (ic, r), 
(u, ic) (v, r) 
(1, ic) (1, r), 
(2, «) (2, r) 
(lü, ic) {ic, r), 
X, X. 
Anzahl der Columnen ungrade. In 2q 
von den Gleichungen 22) ist nun r = v. 
Vertauscht man also die vertikalen Co 
lumnen mit den Horizontalreihen, so 
wird dadurch das Vorzeichen der De 
terminante geändert. Bei jeder solchen 
Vertauschung aber bleibt nach einem be 
kannten Satze die Determinante unver 
ändert, und folglich muss dieselbe iden-