— Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf. 5 
Quadraturen — Zurückf. auf. 
ungen 22) bleibt nur 
mit den 2q Gleichun- 
den, in der That: 
gsgleichungen gibt. — 
2 X dx nur ein In 
war die Anzahl der 
igen, die man hier 
n der Integrabilität 
-1). Es ist dann zu 
die Bedingungen der 
n also: 
(1, r) I 
(2, r) = o. 
X 
r | 
m des Index A hat 
Gleichungen. 
>en, d. h. von un- 
i, sind, wie Gleichung 
erste Glied rechts kdip 
.usdrücke u t , «, ... « n , 
da alle U das t, nur als 
Factor enthalten. Man 
iungen mit 2«—1 In 
möglich ist, wenn eine 
intische Folge der übri- 
edingung dafür wird 
Gleichungen 21) dar- 
i r — 2m-|-1 setzt, und 
die Werthe q von 1 
Die Elimination der « 
auf Gleichungen, die 
alog sind, wenn man 
-1, tc = 2m, Dann stellt 
) nur eine Gleichung 
ichung 22) wird iden- 
Ä erörterten Gründen, 
leichung 
i 
Xdx=0 
von denen keins will- 
ligt werden könne, ist 
ig zu erfüllen: 
+ 1) 
+ 1) 
4-1) 
hl 
ität. 
ere wegfallen, also im 
Integrale, und von den 
2m Gleichungen, die nach Elimination 
des Index aus 19 a) sich ergeben, sind 
somit 2<7 + l identische Folgen der übri 
gen. Man erhält wieder dafür die Be 
dingungen 21), in denen zu setzen ist: 
für r alle Zahlen von 2m—29+1 bis 
2m+1, für p alle Zahlen von 1 bis 2m-(-1, 
und wo die Summen von p = 1 bis 
Q=.2n—2q auszudehnen sind. 
Nach Elimination der a stellen sich 
dann Systeme wie 22) und 22 a) ein, 
wo zu setzen ist: w — 2n—2q wie oben 
und für v und v jede der Zahlen von 
2m—2^ + 1 bis 2m+1. 
Die Anzahl der Bedingungen wäre so 
mit: (2*7-f-1) (2q + 2), reducirt sich aber 
in derselben Weise wie in A auf die 
Hälfte, d. h. auf (2q +1) (9-h 1) Bedin 
gungen. 
Soll die Gleichung 2Xdx — 0 also 
nur ein Integral haben, so wird die An 
zahl der Bedingungen gefunden, wenn 
man setzt: qz=n—1, also: m(2m—1) 
Bedingungen. 
Es ist ferner w — 2, und für r und v 
jede der Zahlen von 3 bis 2m+1 zu 
setzen. 
Die Bedingungen der Integrabilität 
schreiben sich also im Falle einer un- 
graden Anzahl von Variablen ganz wie 
die für den Fall der graden Anzahl ent 
wickelten (22 b). 
37) Vereinfachung des allge 
meinen Verfahrens, wenn die 
Anzahl der Integrale geringer 
ist als im allgemeinen Falle. 
Nach Fortfall der identischen Glei 
chungen und nach Elimination von A 
hat man, sowohl wenn die Anzahl der 
Variablen grade, als wenn sie ungrade 
ist, noch 2m—2q—1 Differenzialgleichun 
gen 11) oder 19 a) übrig. Diese ent 
halten im erstem Falle 2m, im letztem 
2m+1 Variablen, und da die Anzahl der 
Integrale der Gleichungen 11) 2m — 1—2q 
ist, also ebensoviel Variable sich als 
Function der übrigen ergeben, so ist die 
Anzahl der noch übrigen, also unabhän 
gigen Variablen x im ersten Falle gleich 
2</+l, im letzteren 2q +2. Dadurch 
erhalten die Gleichungen 11) einen ganz 
andern Charakter wie im allgemeinen 
Falle, wo q = 0 ist, also nur eine un 
abhängige Variable sich vorfindet. 
Seien . . . * die unabhängi 
gen Variablen, also s bezüglich gleich 
§9+1 oder gleich 29+2, seien ferner 
die 2m—2q—1 oder 2m—s bezüglich 
2m—s + 1 Gleichungen, die sich aus den 
Gleichungen 11) nach Elimination von 
A ergeben, alle von der Gestalt: 
4yA+-'V»r 0 ' 
wo die nicht unabhängigen Variablen 
zum Unterschiede mit y bezeichnet wor 
den sind, X und Y Functionen aller x 
und y, in jeder Gleichung die Werthe 
der X und Y andere sind, und die 
zweite Summe auf alle Werthe von h, 
von h= 1 bis h — Q geht, wo p gleich 
2m—s oder bezüglich p = 2M—s + 1 ist. 
Da nun x lt x 2 . . . x von einander 
unabhängig sind, so kann man x 2 , x s 
. . . x constant denken, und hat zu 
s 
integriren das System: 
X,dx l+ 2 Q Y f dy h =0. 
h— 1 
Hier ist die Anzahl der unabhängigen 
Variablen nur Eins, und die Anzahl der 
abhängigen q gleich der der Gleichun 
gen, Die Integration erfolgt also in der 
gewöhnlichen Weise. Wir setzen a; t =0 
und bilden die Hauptintegrale: y t f , y 2 
. . . y In die vorgelegte Gleichung 
setzen wir nun diese Werthe, und mö 
gen dadurch X und Y sich in X r und 
Y r verwandeln. 
Diese Ausdrücke entstehen also, wenn 
man: 
*i=0, 2/i=2//> y Q ~y Q ' 
setzt, x 2 , x s ... x aber unverändert 
lässt. In der so gebildeten Gleichung: 
's'x' r dx r + XY h 'dy h ’ = 0, 
r=2 
welche ein System vorstellt, denken wir 
x s , x t . . . x g constant, und erhalten: 
X 2 'dx 2 +2Y k 'dy h '=0. 
Für x 2 =0 sollen nun die Hauptintegrale 
sein: y t ", y 2 n ...«/" und durch Ein 
setzen vonO, y/ f , y-i" . . • yj f für x 2 
y/, y./ . . . y ’ sich die X' und Y r 
verwandeln in X ,f und Y n . Man hat 
dann ganz wie oben zu bilden die Glei 
chung; 
X"dx 3 + 2Y"dy" = 0, 
deren Hauptintegrale sind: y L nr , y 2 n 
.... y u, s. w. Man hat, wenn man 
bis zu ? X (s_1) rfx s +xy^ _ 'W S_l) 
fortfährt, s Systeme von q Gleichungen 
33