Quadraturen — Zurückf. auf. 514 Quadraturen — Zurückf. auf. 
mit £+1 Variablen zu integriren, um deutende Reduction. Man hat nämlich 
das System 11) aufzulösen. statt eines Systemes von 2n—1 Glei- 
Die Variablen eines jeden Systems chungen mit 2n Variablen, worauf die 
sind die Hauptintegrale des vorhergehen- Gleichungen 11) im allgemeinen balle 
den. Die Hauptintegrale des letzten zurückgeführt waren, jetzt 2y + l, bezüg- 
Systems : lieh 2^—2 Systeme mit 2n—2q—1 Va 
riablen. 
y 
(») „ (») 
20 
y 
(0 
Die allgemeinere Aufgabe führt auf 
9 eine Differenzialgleichung von der Ord- 
sind endlich die der vorgelegten Glei- nung 2n—1 zwischen 2 Variablen, die 
chungen, und setzt man dieselben gleich zweite auf s Gleichungen von der Ord- 
Constanten, so hat man die vollständige nung 2n—2q—1, also eine desto bedeu- 
Auflösung derselben, tendere Reduction, je grösser q ist. 
Die hier gegebene Methode erstreckt Füh ™ |f zt wieder für V» V* • • • 
sich auf jedes System von p Gleichun- ^p tie 61 ie ‘ ,7 s-f- i’ ^s-f- 2 ’ ' ' X y 
gen mit s+p Variablen, wenn dasselbe ein, wo v bezüglich gleich 2n oder gleich 
p Integrale hat, was allerdings die Er- 2n-fl ist, so sind die Hauptintegrale des 
füllung gewisser Bedingungsglcichungen 
zwischen den Coefficienten X und Y 
erfordert. 
In unserm Falle, um auf diesen jetzt 
zurückzukommen, sind]diese Bedingungs 
gleichungen erfüllt, weil das Vorhanden 
sein von p Integralen von Anfang an 
feststeht. Dies Integrationsverfahren be 
dingt aber für unsere Aufgabe eine be- man identisch: 
ganzen Systems 11) jetzt: x 
(*) , (*) 
00 
S+ I 
und wenn man diese 
s -J~ 2 
Werthe für x ... x , n ... x . 
s-f-1’ s + 2 S 
aber die unabhängigen Variablen x x , 
x. ... x alle gleich Null setzt, so hat 
.+ 
x ( s ) j x ( s ) ) 
V V J 
x (s) v(*) 
S+ 1’ S+ 2 
. . . X . X . 
s’ S-f- 1’ 
. 2 ■ ■ ’ U, x s _J_ t , * s 2 • . • 
Die Anzahl der Glieder rechts ist 2n—2q—1 in beiden Fällen, also immer 
(s\ 
ungrade. Man setzt also x x ' 
= . +X (s) , dx( S ) 
A K s + l s +1 s + 2 s+2 
eine Formel, die ganz wie 15 a) gebildet ist, und wo A^ s \ 
u. s. w. aus A, X . , X , entstehn, wenn man darin x,, x„ 
S T 1 S -j- 2 
vertauscht mit 0,0 
gleich einer Constante, und löst die Gleichung 
r» 
k ’ / .+ * +XV 
»+3 
dx 
.(•) 
+X « dx ( s ) = 0, 
ganz wie früher auf. Dieselbe hat 
2n—2q—2 Variable, also ti—q—l Inte 
grale, und diese geben in Verbindung 
mit 
(s) 
x K ' . i = const. 
s+ 1 
die n~q Integrale unserer Gleichung: 
2Xdx = 0. 
Klar ist es übrigens, dass diese Reduction 
einer Gleichung von der Ordnung 2n—1 
auf eine von der Ordnung 2n—2q — 1 
schon dann einträte, wenn es sich bei 
irgend einer Aufgabe darum handelte, 
ein System von Gleichungen, deren 
Form die von 11) ist, zu integriren, und 
die Bedingungen, welche das Wegfallen 
von q Integralen erfordert, erfüllt wären. 
38) V ortheile für die Integra- 
tion, welche sich ergeben, wenn 
einintegral bereits bekannt ist. 
Aus den in den beiden letzten Ab 
schnitten gegebenen Sätzen lassen sich 
auch für die allgemeine Aufgabe der 
Integration der totalen Differenzialglei 
chungen wichtige Vortheile ziehen. 
Diese Vortheile hat für die partiellen 
Differenzialgleichungen erster Ordnung, 
welche ein besonderer Fall unserer Glei 
chung sind, Jakobi angegeben. Die Re 
sultate sind bereits früher von ihm mit- 
getheilt (Crelle’s Journal Bd. 17). In- 
dess ist Jakobi’s Arbeit selbst erst lange 
nach dem Tode des berühmten Mathe 
matikers durch Klebsch publicirt wor 
den (Grelle Bd. 60). Schon vor dieser 
Publication hatte der Verfasser dieses 
Wörterbuchs für den allgemeinem hier 
behandelten Fall ähnliche Resultate ge-