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Quadraturen — Zurückf. auf. 517 Quadraturen — Zurückf. auf. 
2 X dx: 
x du ~b, , 
q q 2 r + 
i* V 2r+l+ h 
2 r + 
/®2r+2 + 
+ b 2n dv 2n 
q— r 
: 2 
q- 1 
Sind die er, u und v bekannt, so sind sein, als wenn 4 Integrale eines belic 
es auch die b, und man behandelt die bigen Systems gegeben wären. — Es ist 
Gleichung zu untersuchen, in welchen Eällen dies 
2bdv- 0 gestattet sei. 
ganz wie die Gleichung 5). - Selbst- , ^ Allgemeinen ist ein Integral 
verständlich findet alles Gesagte auch der Gleichungen 12) eine Function von 
dann statt, wenn die Anzahl der Varia- «»» «i and “ beheb ^ n * nte S ral - 
blen 2w+l ist, nachdem man dieselbe s { stem der Gleichungen 23). Es kann 
mittels des willkürlichen Integrals auf aber M i mittels der Gleichung 
2n reducirt hat. u i — const. 
39) Y ortheile für die Integra- elimi ^t werden Ist dann auch in 
tion, wenn gleichzeitig 2 oder nicht vorhanden so ist letzteres wirk- 
m ehr ere Integrale bekannt sind. b( ; b ein Integral der Gleichungen 23). 
Die Bedingung für letzteres und mithin 
Wir nahmen im vorigen Abschnitte ,j a fü rj ¿lass m, und u. 2 die Stelle von 4 
an, dass man ein Integral der Gleichun- i nte gralen vertreten, ist: 
gen 11) kenne, diese mittels desselben 
auf das System 23) reduciré, von diesem / j _ q. 
wieder ein Integral bestimme, mittels \da L J 
desselben das System 24) bilde u. s. w. F)j e Klammer zeigt hier an, dass in m 2 
Es kann aber auch der Fall sein, dass die Variablen x 3 . . . x ausge- 
man zwei Integrale der Gleichungen 11) . 2n 
gleich von Anfang an zu bestimmen im drückt sind als Functionen von «j, «, A 
Stande ist. Wenn eins dieser beiden und d ®^ 2n—3 Integralen der Gleichun- 
Integrale u 2 zugleich eins der Gleichun- g en 23), und unter dieser Bedingung 
gen 23) ist, oder was dasselbe ist, ein nacb a differenznrt ist. A kann hierin 
Integral der Gleichungen mdess n,cht Vorkommen, da u, ein In- 
tegral ist. Die linke Seite dieser Glei- 
2Xdxz=[), chung ist nun leicht darzustellen. Da 
da das erste Integral jedes Systems ja in den Gleichungen 23) A, « 1 von ein- 
als Integral dieser letzten Gleichung he- ander unabhängig sind, so zerfällt dies 
trachtet werden darf, so kann man ganz System, in dem man bezüglich cc t und 
wie im vorigen Abschnitte operiren, und A constant denkt, in 2 Systeme von der 
es würde dann die Aufgabe so reducirt Gestalt: 
dx \ d« p — 2n /dx \ 
■ * ■> W:)- 
p~2n /ux \ t 
X,=A * 0 =i 
-+A 2 
p — 1 
Das erste System hat dieselbe Form als 11), es wird also jedenfalls u 2 ein In- 
' ‘ ---- 1, s = 2 
P- 1 
s — 2n entsprechen, gibt die Werthe der Differenzialquotienten 
durch Auflösung linearer Gleichungen. Setzt man diese Werthe 
( dx A 
\daj’ 
\dccj 
■ • (—) 
\dcxj 
/du.\ r=2n du 3 /\\ 
W = rfl dx r W 
l p~2it r~2n 
so erhält man; 
d« l du 3 
», r dx dx 
* ’ p r 
wo die Q leicht zu bestimmende Functionen der Grössen (p, s) sind. Wir wollen 
mit V die eben hingeschriebene Doppelsumme rechts, welche in -j- multiplicirt ist, 
bezeichnen. Die Bedingung dafür, dass die gleichzeitig bekannten Integrale die 
angegebene Reduction bewirken, ist also: