Quadraturen — Zurückf. auf. 518 Quadraturen — Zurückf. auf. 
F=0, 
wo V gegeben ist, wenn man n t und m 2 kennt. 
Sind 3 Integrale u v , m 2 , u 3 gleichzeitig bekannt, so folgt ganz in derselben 
Weise, dass dieselben das System so reduciren, wie im allgemeinen Falle deren 
6, wenn man hat: 
(£)-* (£)=«■ 
dx dx 
Die Ausdrücke x—, -—, welche hierin Vorkommen, werden durch das System 24) 
gegeben, aus welchen man die Gleichungen erhält; 
du, 
p —ln 
dx 
dx 
+ A 1 
(Pi s ) 
-P, 
s 
P= 1 
dx t 
du, 
pz= 211 
dx 
öx 
+ A JS 
Ob s ) 
V. 
s 
V-i 
dx % 
Sind n Integrale gegeben, welche die Gleichungen erfüllen : 
so sind dies die n Integrale der Glei 
chung 2 X dx = 0. Die dann noch feh 
lenden Integrale der Gleichungen 11) 
sind die «, und diese ergeben sich aus 
den algebraischen Gleichungen: 
2AX~ = a . 
du s 
s 
Sind aber nur p Integrale u bekannt, so 
ergeben sich die zugehörigen ce l , « 2 .. . 
te durch Quadratur aus den Gleichun 
gen 26). 
Kommen wir jetzt auf den Fall, wo 2 
Integrale gegeben sind, zurück, und neh 
men wir an, dass V nicht identisch 
gleich Null sei. Es fragt sich, ob trotz 
dem eine wesentliche Reduction der Auf 
gabe eintrete. 
Da m 2 und «, Integrale der Gleichung 
11) sind, so ist der Ausdruck: 
- z 
Vdr^/ A 
ebenfalls ein Integral derselben, denn der 
Differenzialquotient ist ja wie m. 2 
von A unabhängig. 
Es können nun 3 Fälle eintreten 
Entweder 
ist identisch einer 
/ • du 2 
'/(«: 
C U 2)' 
Der Vortheil ist hier noch geringer, er 
besteht eben darin, dass sich gleich 
anfänglich vor der Integration der Glei 
chungen 23) durch Quadratur bestimmen 
lasse. Endlich 
“) (£) • 
ist weder der 
Constanten gleich, dann ist u 2 = cn l . 
Es kann dann dies Integral nur dazu 
dienen, den Index ohne Quadra 
tur zu finden, oder II) ist gleich 
einer Function von m 2 , y (u 2 ), dann ist: 
Null, noch einer Constante, noch einer 
Function von u i identisch gleich, dann 
• / d «*\ F T _ _ 
ist — J = -j- ein neues Integral der 
Gleichungen. 
In diesem Falle, auf welchen Jakobi 
ein Hauptgewicht legt, der ihn für die 
in der Mechanik und Variationsrechnung 
vorkommenden Gleichungen, die einen 
besondern Fall unserer Gleichung bilden, 
zuerst erörtert hat, und ihn, da er aus 
einer Poisson’schen Formel abstrahirt 
ist, den Poisson’schen Satz nennt, lässt 
sich also aus zwei Integralen, wenn zu 
gleich der Index A bekannt ist, ein drit 
tes Integral finden. Es ist klar, dass 
V / duA . 
wenn man — = io setzt, —J ein wei 
teres Integral der Gleichungen 11) ist, 
falls dieser Ausdruck weder gleich Null, 
noch einer Constante, noch einer Func 
tion von m„ oder ic, oder m 2 und io 
identisch gleich ist. Ist 
gibt 
( ¿»A 
\d tt J 
( dtc\ 
ein viertes Integral, wenn 
ic, auch diese Bedingungen erfüllt, und 
namentlich nicht eine Function von 
m, , ic, io. allein ist u. s. w. Es ist