Quadraturen — Zurückf. auf. 520 Quadraturen — Zurückf. auf. 
nen X n—p aus, so hat man nur p Systeme zu integriren; fallen n—1 aus, d, h. 
ist die vorgelegte Gleichung von der Gestalt: 
X l dx l J t-X%dx 2 + . . 
so ist nur ein System zu integriren. 
III) Soll die Gleichung XXdx — 0 nur 
n—q Integrale haben, so müssen bei 
2n Variablen q(2q +1), hei 2n+l 
(<7+l) (2q +1) Bedingungsgleichungen er 
füllt werden. Es tritt aber dabei eine 
derartige Reduction der ganzen Auflö 
sung ein, dass man statt </ + l Systeme 
mit bezüglich 2n, 2n—2 . . . 2n—2q 
Variablen bezüglich 2y+l und 2q+2 
Systeme mit 2n—2q—1 Variablen zu 
integriren hat. 
IV) Besondere Vortheile gewährt die 
Auflösung, wenn man ein Integral be 
reits bestimmt hat. Die Aufgabe wird 
dann so reducirt, als wenn man hei einem 
gewöhnlichen Systeme zwei Integrale 
kannte. Ist von dem nun gebildeten 
Systeme ebenfalls ein Integral bekannt, 
so vertritt dies ebenfalls zwei, die im 
allgemeinen Ealle gegeben wären; ist 
von dem so gebildeten System wieder 
eins bekannt u. s. w., so dass man im 
Ganzen p Integrale kennt, so hat man 
noch p+1 Systeme mit bezüglich 2n—2p 
Variablen zu integriren, und die Glei 
chung XX dx = 0 ist so reducirt, als 
hätte man die p ersten Systeme bereits 
vollständig integrirt. An Stelle der er 
sparten Integrationen treten blosse Qua 
draturen. 
V) Sind 2, 3 oder mehr Integrale 
gleichzeitig gegeben, und erfüllen diese 
gewisse Bedingungsgleichungen, so wird 
die Aufgabe so reducirt, als wären 4, 
6 . . . Integrale eines gewöhnlichen Sy 
stems bekannt. Werden diese Bedin 
gungsgleichungen nicht erfüllt, so ge 
währt die Kenntniss mehrerer Integrale 
andere Vortheile. 
Ja, in einem Ealle, den man, wenn man 
will, sogar als den allgemeinen betrach 
ten kann, reichen 2 bekannte Integrale 
hin, um alle übrigen zu bestimmen. 
Wir unterlassen übrigens, diese Theo 
rie mit Beispielen zu belegen, da der 
nächste Artikel, die partiellen Differen 
zialgleichungen betreffend, zu solchen 
Anlass geben wird. 
41) Verschiedene Systeme von 
Integralen. 
Die Gleichung: 
s = 'ln 
X X dx =0, 
, s s ’ 
1 
auf die auch der Fall einer ungeraden 
. X , dx =0, 
n+i n+i ’ 
Anzahl von Variablen zurückgeführt 
wurde, ist nach dem Obigen integrirt, 
wenn man durch eine Transformation: 
5) X X dx — du | “1" U 2 du 2 -)- • • • 
s — 1 s s 
+ U du 
n n 
setzen kann, und es sind dann: 
wo a., ö, . . . a willkürliche Constan- 
ten sind, die Integrale; d. h. durch Dif- 
ferenziiren dieser Gleichungen und Di- 
vidiren der Differenziale, nachdem jedes 
mit einer gewissen Grösse multiplicirt 
ist, kann man den Ausdruck XXdx=0 
entstanden denken. Umgekehrt sind n 
Integrale der letzten Gleichung u t = a t , 
u2 — a 2 . . . m = a n irgendwie be 
kannt, so kann man XXdx auf die an 
gegebene Form bringen, wo U v , i/„ . . . 
U ebenfalls gegebene Grössen sind. 
Aber es gibt auch Integrale von ganz 
anderm Charakter, welche statt der Con- 
stanten willkürliche Functionen enthal 
ten. Dieselben lassen sich aber stets 
bestimmen, wenn man n Integrale wie 
die obigen hat. 
Offenbar nämlich machte alle Relation 
zwischen u und U die Gleichung XXdx — 0 
identisch, welche bewirken, dass der Aus 
druck rechts in Gleichung 5) ver 
schwinde. 
Nehmen wir nun an, es wäre: 
27) « n = ?'(«i, . . . w w _ 1 ), 
wo rp eine willkürliche Function ist, so 
wird der Ausdruck rechts in Gleichung 
5) die Form annehmen: 
n— I 
und dieser Ausdruck wird gleich Null, 
wenn wir mit Gleichung 27) die n—1 
Relationen zwischen jetzt bekannten 
Grössen: 
u i+ u . 
■V =0 v v |» =0 , 
1 n du. 
du 
4- U — 
t^ n du 
28)