Quadraturen — Zurückf. auf. 521 Quadraturen — Zurückf. auf. 
verbinden. Also diese Relationen in Verbindung mit Gleichung 27) stellen ebenfalls 
ein System von Integralen der Gleichung 2Xdx — 0 vor. 
Die Anzahl derselben ist wieder n, sie enthalten aber keine Constante, da 
gegen eine willkürliche Function von n—1 Variablen. 
Specialisirt man dieselbe aber derart, dass sie n willkürliche Constanten ent 
hält, so kann man aus 27) und 28) ein den Gleichungen u l =a l . . . analoges 
System wieder gewinnen. 
Setzen wir ferner: 
29) 
.p'/lK, M 2 • • 
' TI — 2 
)> w =y 2 («i> • • • *«_«). 
so wird die rechte Seite von 5) die Gestalt haben: 
■ ■ ■ +(«'.-.+ V n-, 
+ 
n— 3 
jTä-H« 
du ’ n — 2 
11—2 
Dieser Ausdruck wird gleich Null, wenn man mit den beiden Gleichungen 29) 
die folgenden n—2 Relationen verbindet: 
30) 
U t + U ^ = 0. 
1 n—1 OM l n ou L 
u t + u u ~*=o 
3 n— I OM, tl OM, 
U + U 
n — 2 n— l om 
l -+ u 
ti du 
= 0. 
Offenbar ist dieses System von Integralen weniger allgemein als das vorige, da 
es zwar 2 willkürliche Functionen, aber nur mit n—2 Variablen enthält. — In 
derselben Weise kann man ein Integralsystem von n Gleichungen bilden, welches 
3 willkürliche Functionen mit n—3 Variablen enthält u. s. f. 
Schliesslich hat man ein System von n—1 willkürlichen Functionen mit einer 
Variable: 
31) «a = 9*i( # i), «3=7s ( M i) • • • M n = 7 , M _ 1 ( M i)> 
zu welchem die eine Gleichung tritt: 
32) 
e.+c,^i+u 
d Vi 
dir 
<5m £ 3 du t 
+ ... +U 
n du. 
= 0. 
Alle diese Systeme haben wesentlich verschiedenen Charakter. Ausserdem 
gibt es noch ein System, das weder Constanten noch willkürliche Functionen ent 
hält. Offenbar nämlich wird auch die rechte Seite in 5) gleich Null, wenn man 
setzt: 
33) 
u l= o, u,=0 . . . U n =0. 
Diese Integrale nennt man, der früheren Bezeichnung analog, singuläre. 
Die Vollständigkeit dieser Untersuchungen würde freilich erfordern, dass man 
ein System von s simultanen Gleichungen von der Form JZ X dx = 0, wo s eine 
beliebige Zahl ist, in ähnlicher Weise behandelte. Der Verfasser entsagt dem 
aber um so lieber, als er gestehen muss, dass er für jetzt nur im Stande wäre, 
Bruchstücke zur Lösung dieser höchst schwierigen Aufgabe beizubringen, was 
dem Zwecke dieses Wörterbuchs fremd wäre. Er schliesst also diesen Artikel, 
indem er glaubt, die Theorie der totalen Differenzialgleichungen, so weit sie bis 
jetzt ausgebildet ist, in einiger Vollständigkeit dem Leser vorgeführt zu haben.