Quadraturen — Zurückf. auf. 522 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Quadraturen, Zurückführung der par 
tiellen Differenzialgleichungen auf —. 
1) Einleitung. 
Unter einer partiellen Differenzialglei 
chung versteht man eine solche, welche 
die Differenzialquotienten einer oder 
mehrerer abhängigen Variablen nach 
wenigstens 2 unabhängigen Variablen 
f ( x l) x i • • • x n i *1’ Z 2 • 
jt 1 , x 2 . . . x sind die ^unabhängigen, 
a t , zj ... 2 die abhängigen Varia- 
P 
bien, Mj+M 2 . , . -j-w — l 'der Diffe 
renzialquotient, ein Symbol für alle die 
jenigen, welche entstehen, wenn man 
A, m,, m 2 • • • « mit 0, 1, 2 . . . ver 
tauscht. 
Selbstverständlich gibt es auch simul 
tane partielle Differenzialgleichungen, 
und würde man ein System derselben 
aus der hier gegebenen Gleichung er 
halten, wenn man für f andere Functio- 
/■(*11 X 2 • 
Z, 
dz dz 
dx 2 dx 2 
enthält. Wie totale Differenzialgleichun 
gen , können auch die partiellen erster, 
zweiter u. s. w. Ordnung sein, je nach 
dem die höchsten darin enthaltenen Dif 
ferenzialquotienten erster, zweiter u, s. w. 
Ordnung sind. 
Das allgemeine Schema einer partiellen 
Differenzialgleichung ist mithin: 
. z ) = 0. 
P dx?' dx 2 u * ... dx U ' n 
nen f, , f 2 . . , von derselben Varia 
blen gleich Null setzte und mit dieser 
Gleichung verbände. Jedoch ist eine 
Behandlung der simultanen partiellen 
Differenzialgleichungen fast noch gar 
nicht unternommen, und sind nur sehr- 
vereinzelte spezielle Fälle den gegen 
wärtigen Hülfsmitteln der Analysis zu 
gänglich. — Wir werden uns daher auch 
hier fast ausschliesslich auf eine partielle 
Differenzialgleichung mit einer abhän 
gigen Variablen zu beschränken haben. 
— Das allgemeine Schema für die 
selbe ist: 
d 2 z d 2 z 
dx t 2 ’ dx 2 dx 2 
dh 
d 2 : 
dx 2 ’ dx, 3 ’ dx^dx. 
dh 
dx 
dx ,dx 
n— 1 n 
1’ 
dx 
:)=0. 
Was die Behandlung derselben anbe 
trifft , so muss zuvor bemerkt werden, 
dass auch dieses Problem in seiner All 
gemeinheit nur wenig ausgebeutet ist 
und Schwierigkeiten der erheblichsten 
Art darbietet. Diese Schwierigkeiten 
beziehen sich nicht allein auf die Natur 
und auf die Darstellung der allgemeinen 
Integrale, obgleich auch diese in den we 
nigsten Fällen einer genauem Kenntniss 
zugänglich sind, sondern auch auf die 
Anwendungen. Denn oft kommt es vor, 
dass, um eine partielle Differenzialglei 
chung, deren allgemeines Integral man 
kennt, für einen bestimmten Fall anzu 
wenden, also zu spezialisiren, Probleme 
von der grössten und bei unsern jetzi 
gen Kenntnissen unüberwindlichen Schwie 
rigkeit zu lösen wären, so dass man in 
der Regel leichter zum Ziele kommt, 
wenn man, statt das allgemeine Integral 
zu suchen, sich von Anfang an den Be 
dingungen der speziellen Aufgabe mög 
lichst anschliesst, und so zu einer Lösung 
derselben zu gelangen sucht. 
Allgemeineres ist nur für die partiellen 
Differenzialgleichungen erster Ordnung 
gelungen, und zwar besteht das Resul 
tat darin, „dass jede partielle Differen 
zialgleichung erster Ordnung sich in ein 
System von n totalen Differenzialglei 
chungen mit n+1 Variablen zerlegen lässt.“ 
Diese Reduction, welche immer ange 
wandt werden kann, löst also auch die 
Zurückführung der partiellen Differen 
zialgleichungen auf Quadraturen in den 
Fällen, wo nach dem vorigen Artikel 
die Auflösung des in Rede stehenden 
Systems totaler Differenzialgleichungen 
auf Quadraturen führt. 
Bei partiellen Differenzialgleichungen 
höherer Ordnung hat man sich fast aus 
schliesslich auf die Behandlung der li 
nearen Gleichungen, d. h. der Gleichun 
gen von der Form :