Quadraturen — Zurückf. auf. 525 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Artikel: Quadraturen), namentlich der Satz, dass ein solcher Ausdruck nur dann 
zwischen gegebenen Grenzen zwei verschiedene Werthe geben kann, wenn die durch 
laufenen beiden Integrationswege einen Discontinuitäts- oder mehrfachen Punkt 
umschliessen. 
3) Beziehung zwischen dem vollständigen und dem allgemei 
nen In tegral. 
Für die partiellen Differenzialgleichungen erster Ordnung gibt es aber noch 
eine andere Art, sich von dem Vorhandensein des allgemeinen Integrals zu über 
zeugen, und was ungleich wichtiger ist, dasselbe immer dann wirklich aufzufinden, 
wenn das vollständige Integral bekannt ist. 
Diese Methode rührt von Lagrange her, und sie führt also die ganze Inte 
gration der partiellen Differenzialgleichungen erster Ordnung auf die Bestimmung 
des vollständigen Integrals zurück. 
Sei: 
f= o 
eine gegebene partielle Differenzialgleichung, wo also die linke Seite: 
dz dz dz 
dx,’ dx, 
enthält. Sei ferner: 
F(rt t , a 2 . . . \) = 0 
das vollständige Integral dieser Gleichung, wo a t , a 2 
Constanten sind, und F also ausser denselben noch die Variablen x L , x 2 ... x^, z 
enthält. Es ist dann die Gleichung f— 0 nach Abschnitt (2) entstanden, indem 
man aus den Gleichungen: 
1) 
eliminirt. 
zeigt hier an, dass die Function F derart nach x g 
renziirt werden soll, dass z als Function von x betrachtet wird, es ist also: 
dF\ dF , dF dz 
die Constanten a t , a 
/dF 
Das Zeichen 
/d F\ /d F\ /d F\ „ 
F =°- (e;H (s;)= 0 • • • ( a -r)= 0 
« 2 ... 
(=[) “ is 
Nehmen wir nun an, es wären a L , a t . . . a n keine willkürlichen Constanten, 
sondern Functionen der unabhängigen Variablen x t ... x.., und sei eine 
dieser Grössen a n eine Function der übrigen a l , a 2 ... . 
2) «„ = ^(«1* a 2 ••• a n -0' 
so erhält man beim Differenziiren von F= 0 jetzt die folgenden Gleichungen: 
da„\ f * i? da.