Quadraturen — Zurückf. auf. 527 Quadraturen — Zurückf. auf. 
Ausser diesen ist aber noch ein Integral zu merken, welches weder willkür 
liche Functionen noch Constanten enthält, aus keiner der gegebenen Klassen aber 
durch Specialisirung erhalten werden kann. Dies Integral heisst singuläres, und 
schliesst sich seinem Charakter nach somit den singulären Integralen der totalen 
Differenzialgleichungen genau an. Es kann dasselbe jederzeit bestimmt werden, 
wenn man das vollständige Integral kennt. 
Nehmen wir nämlich an, es seien in der Gleichung F(a,, a 2 . . . a^) — 0 
« 1? a 2 ... Functionen der x, aber ganz von einander unabhängig, so erhält 
man durch Differenziiren; 
dF da 
und diese Gleichungen werden mit den Gleichungen 1) identisch, wenn man setzt: 
d F 
bien betrachten lässt, wenn die Anzahl 
der unabhängigen Variablen der partiellen 
Differenzialgleichung gleich n ist, und dass 
sich somit die Theorie der partiellen Diffe 
renzialgleichungen auf die in den letzten 
Abschnitten des vorigen Artikels gegebene 
Theorie einer totalen Differenzialgleichung 
mit mehr als zwei Variablen zurückführen 
lässt, und in der That führt diese Betrach 
tung auf dem einfachsten und kürzesten 
d F 
da 
n Gleichungen, aus denen man a lt a 2 
. . . a bestimmt, und in F=0 einsetzt. 
Man hat dann ein Integral von dem be- 
zeichnetcn Charakter. 
Zur Anwendung dieses Verfahrens auf 
Beispiele werden die folgenden Abschnitte 
Gelegenheit geben. 
4) Die partiellen Differen 
zialgleichungen erster Ord 
nung als besonderer Fall der Wege.zum Ziele, indem jede partielle Dif- 
total en D iff er en zialgleichu ngen ferenzialgleichung erster Ordnung in 
betrachtet. 2n—1 totale mit 2n Variablen zerfällt. 
Die wichtigste Eigenschaft der hier Diese Identität der totalen und par- 
betrachteten Gleichungen ist aber die, tiellen Differenzialgleichungen ergibt sich 
dass sich eine solche immer als eine to- unmittelbar durch folgende Betrachtun 
tale Differenzialgleichung mit 2n Varia- gen. Statt der Gleichung; 
f{x„ x, . . 
kann man offenbar setzen die folgende 
2) f(x„ x 2 . . 
verbunden mit dem System: 
dz 
—P, 
Diese letzteren Gleichungen aber lassen sich in die Gestalt einer einzigen bringen, 
nämlich: 
denn durch successives Differenziiren der Differenziale von (n-f-l) derselben: