Quadraturen — Zurückf. auf. 528 Quadraturen — Zurückf. auf.
Wir wollen jetzt noch die durch Gleichung 4) gegebene Form der partiellen
Differenzialgleichung erster Ordnung benutzen, um eine zuerst von Legendre ge
gebene Transformation zu beweisen, welche in manchen Fällen auch bei Gleichun
gen höherer Ordnung von Nutzen sind.
Die Gleichung 4) lässt sich nämlich auch auf die Form bringen:
d z = d{p l x i +p 2 x t + . . • +P n \) ^-x l d Pi -x 2 dp 2 - . . . ~x n dp n ,
d. h.;
5)
wo gesetzt wurde:
6)
du = x L d Pl +x 2 dp 2 + . . . +x n dp n ,
u = p l x l +p 2 x 2 + . . . +P n x n ~z,
z = p l x l +p 2 x 2 + . . . +p n x n -u.
Die Gleichung 5) aber zerfällt in das folgende System:
du du du
du du du
und diese Werthe in die Gleichung 2) einsetzend, erhält man:
eine partielle Differenzialgleichung erster Ordnung, die somit mit 1) ganz identisch
ist. In 8) sind p L , p 2 . . . p die unabhängigen Variablen, also dieselben
Grössen, welche in 1) die Differenzialquotienten von z waren, während die Grössen
x t , x 2 . . . x in 8) die Differenzialquotienten von u sind.
Ehe wir jetzt mit Anwendung des vorigen Artikels die vollständige Theorie
der hier betrachteten Gleichungen geben, wollen wir aber noch einen besondern
Fall, den der linearen Gleichungen, direct betrachten.
5) Integration der linearen Gleichungen erster Ordnung.
Sei gegeben die Gleichung:
wo A lf A 2 , . . A fi , B Functionen von z, x lt x 2 . . . x n sind. Diese Gleichung
heisst lineare, da sie in Bezug auf die partiellen Differenzialquotienten von z li
near ist. Wir ersetzen sie zunächst, wie im vorigen Abschnitte, durch das
System:
dz dz
dx. dx 2 dx
1 A 7
oder durch die eine Gleichung:
2)
dz-p l dx l -p 2 dx 2 - , . . ~V n dx n ~0
verbunden mit:
3)
A t Pi+A a p.+ . . . +A n p n = B.
Indem wir aus 2) und 3) p n eliminiren, erhalten wir:
4) A n dz-A n p v dx,-A n p 2 dx 2 - . . . ~A n p n _ 1 dx n _ l
-{B-A lPl -A 2 p 2 - .. . ~A n _ i p n _ [ )dx n = 0,
oder, indem wir die mitp 15 p 2 . P n __ l multiplicirten Theile von einander
sondern:
