Quadraturen — Zurückf. auf. 529 Quadraturen — Zurückf. auf.
5) A n dz - Bdx n +Pi(A l dx n -A n dx l )+p 2 (A i dx n -A n dx 2 )-\- . . .
+» (A dx — A dx ,) = 0.
' n— I v n— 1 n n n— 1/
Es wird diese Gleichung offenbar erfüllt, wenn man setzt:
ein System von n Differenzialgleichungen mit n-f-1 Variablen, welches man auch
unter der Gestalt schreiben kann:
6)
dx. : dx, : , , . : dx : dz = A, : A, : . . . : A : B.
12 n j z n
Bildet man die Integrale dieses Systems, so lösen diese offenbar die Gleichung
4) oder 2) vollständig auf, während p l9 p 2 . . . p _ ganz willkürlich bleiben.
Aber nicht unmittelbar ist auch eine Auflösung der Gleichung 1) hierdurch gege
ben. Denn diese Gleichung erfordert, dass man z als Function von a;,, x % . . .
x n erhält, während die n Integrale der Gleichungen 6) z, x L , x 2 . . . als
Functionen von x sich ergeben.
Indess lässt sich aus diesen Betrachtungen leicht das allgemeine Integral von
1) ableiten. Seien die Integrale der Gleichungen 6) zunächst:
wo fi • • • f Functionen von x t , x, ... x a aber Willkür
' 1 ' 6 ' 71 1 z -fi* 15 2 U
liehe Constanten sind, so ist offenbar:
A dz — B dx = 2 e d /,
n n n
A.dx —A dx.—£e'df,
1 n n 1 "
A .dx —A dx, = 2 e ff df
n n 1 '
wo die Summenzeichen auf die Grössen df i9 df 2 . , . df n sich beziehen, e, e'. . .
e K J aber Functionen von z, x. x. ...» sind, die sich leicht bestimmen lassen,
’ 1 n ’
wenn die Integrale bekannt sind. Das Zeichen cf deutet hier, wie schon oft
in den vorhergehenden Artikeln an, dass die Grössen x, x x ... x , z nach einem
ganz beliebigen Gesetze variirt sind. Durch Einsetzen der Beziehung 8) in die,
wenn man Gleichung 3) als erfüllt voraussetzt, identische Gleichung:
erhält man nun :
wo die Ausdrücke A, , h 2 ... ausser x v , x 2 . . . x^, z noch p L , p 2 . . .
P n _yi jedoch in linearer Form, enthalten.
Ist die rechte Seite gleich Full, so ist dies also auch mit der linken Seite
der Fall; es wird dann :
dz-dz, dx.~dx. , . . dx —dx
>11 n n
zu setzen sein.
Nehmen wir nun an, es sei:
10)
f n = <P(ft’ f* • • • f n -1)’
34