Full text: Q (5. Band)

Quadraturen — Zurückf. auf. 529 Quadraturen — Zurückf. auf. 
5) A n dz - Bdx n +Pi(A l dx n -A n dx l )+p 2 (A i dx n -A n dx 2 )-\- . . . 
+» (A dx — A dx ,) = 0. 
' n— I v n— 1 n n n— 1/ 
Es wird diese Gleichung offenbar erfüllt, wenn man setzt: 
ein System von n Differenzialgleichungen mit n-f-1 Variablen, welches man auch 
unter der Gestalt schreiben kann: 
6) 
dx. : dx, : , , . : dx : dz = A, : A, : . . . : A : B. 
12 n j z n 
Bildet man die Integrale dieses Systems, so lösen diese offenbar die Gleichung 
4) oder 2) vollständig auf, während p l9 p 2 . . . p _ ganz willkürlich bleiben. 
Aber nicht unmittelbar ist auch eine Auflösung der Gleichung 1) hierdurch gege 
ben. Denn diese Gleichung erfordert, dass man z als Function von a;,, x % . . . 
x n erhält, während die n Integrale der Gleichungen 6) z, x L , x 2 . . . als 
Functionen von x sich ergeben. 
Indess lässt sich aus diesen Betrachtungen leicht das allgemeine Integral von 
1) ableiten. Seien die Integrale der Gleichungen 6) zunächst: 
wo fi • • • f Functionen von x t , x, ... x a aber Willkür 
' 1 ' 6 ' 71 1 z -fi* 15 2 U 
liehe Constanten sind, so ist offenbar: 
A dz — B dx = 2 e d /, 
n n n 
A.dx —A dx.—£e'df, 
1 n n 1 " 
A .dx —A dx, = 2 e ff df 
n n 1 ' 
wo die Summenzeichen auf die Grössen df i9 df 2 . , . df n sich beziehen, e, e'. . . 
e K J aber Functionen von z, x. x. ...» sind, die sich leicht bestimmen lassen, 
’ 1 n ’ 
wenn die Integrale bekannt sind. Das Zeichen cf deutet hier, wie schon oft 
in den vorhergehenden Artikeln an, dass die Grössen x, x x ... x , z nach einem 
ganz beliebigen Gesetze variirt sind. Durch Einsetzen der Beziehung 8) in die, 
wenn man Gleichung 3) als erfüllt voraussetzt, identische Gleichung: 
erhält man nun : 
wo die Ausdrücke A, , h 2 ... ausser x v , x 2 . . . x^, z noch p L , p 2 . . . 
P n _yi jedoch in linearer Form, enthalten. 
Ist die rechte Seite gleich Full, so ist dies also auch mit der linken Seite 
der Fall; es wird dann : 
dz-dz, dx.~dx. , . . dx —dx 
>11 n n 
zu setzen sein. 
Nehmen wir nun an, es sei: 
10) 
f n = <P(ft’ f* • • • f n -1)’ 
34
	        
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