- Zurückf. auf. 
Quadraturen — Zurückf. auf, 541 Quadraturen — Zurückf. auf. 
ch von x v abhän- 
fft werden: 
.» Pi)- 
Es gibt aber auch eine oft bequemere Methode zur Erlangung des allgemei 
nen Integrals, bei welcher die Eliminationen vermieden werden, und welche für 
den Fall von 3 Variablen bereits Lagrange, der sich zuerst mit diesem speciellen 
Falle beschäftigte, angegeben hat. Es ist beiläufig gesagt nichts weiter, als die 
im vorigen Artikel für totale Differenzialgleichungen angegebene Methode, die 
selben durch successive Integration und Benutzung der nach und nach gewonne 
nen Integrale aufzulösen. 
Lagrange benutzt nämlich von den Integralen der Differenzialgleichungen I), 
II) und III) nur eins. Sei dasselbe: 
f( x , V, z, p\, p 2 ) = ct. 
Verbindet man dies mit der gegebenen Differenzialgleichung: 
7 («, y, z, p L , p a ) = 0, 
so kann man, wenn: 
dz _ dz' 
^ l ~dxf dx 2 
geschrieben wird, daraus 2 Gleichungen von der Gestalt: 
dz 
dx t 
oder: 
dz~udx x -\-vdx 2 
gewinnen, wo u und v Functionen von x, y, z sind, welche die willkürliche Con- 
stante a enthalten. Selbstverständlich werden sie der Bedingung der Integrabili- 
tät genügen. Integrirt man diese Gleichung, so erhält man eine Function von 
x,y,z,a mit einer zweiten Constante ß, also ein vollständiges Integral. 
Wenden wir dies auf das letzte Beispiel an, indem wir von dem Integral: 
bx. 
p 2 = ne 1 
ausgehen und dies mit der Gleichung: 
ax l +bz—p l +f(x L , p t ) 
verbinden, so erhalten wir; 
dz 
dz 
:U, - =V, 
ox. 
dx. 
:ax v -\-hz+F(x«), 
dz bx. 
dx. 
bx. 
wo F{x l , a)=f(x t , «e *) gesetzt ist, also: 
\)fJC 
dz = [rttfj -\-bz -f- F(x t , «)] dx, -f- a e l dx % . 
Setzen wir zuerst x l constant, so kommt: 
bx. 
+ U, 
oder wenn man: 
setzt: 
Es ist also: 
=0 
U=t’. 
,—ax. 
Mi 
das Hauptintegral, und indem man 2=2', x 2 =0 in die Differenzialgleichung 
einsetzt: 
dz' = [ax l -f-bz' J rF(x i , «)] dx L , 
eine Gleichung, die sich integriren lässt, wenn man setzt: 
t bx, 
7/ — W P 1 • 
) das allgemeine