Quadrat. Form (Zahlenlehre). 48 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. Fo 
[(«l + bv + i>yD)x t +(a/4 + bq + QyD)y,] [(aA+6v—r]//))a?,+(«,« +6p—pV'-D)#,] 
oder; 
(px + qy)(rx-\-sy) = {p ì x l +q ì y ì ){r l x l -\- s ì y ì ), 
p — r~a, q — b±yI) ,s — h~yD, 
py—al + bv + vyD, q l =a/u-\-bQ-\-QyD, = aX-\-bv—y]//>, s, = api-\-bq — 
zu setzen ist. — Da aber die Form auf 
sich selbst zurückführt, sind die Coeffi- 
cienten von a? 2 und x y 2 gleich 
3) = l 
d, h. 
7 +'py D = y 
und wenn Gleichungen 5) stattfinden: 
pr 
ebenso die Coefficienten von xy und 
x iVn sowie von y 2 und </ t a , d. h. 
P-^ + qr = p l s l + q l r l und qs = q l s l 
oder durch pr = p l r l dividirt; 
1+£ = *_l+£i 
r p r t p, 
d. h. entweder: 
und 
- Il 
p 
oder 
4) LI 
P 
Pi_ Vi 
V 
5) 
•|_ S L V l_ Vl 
P 
, f+xp y D ='-L 
wo q und xp rational sind. Setzt man 
dann den mit ]//> multiplicirten und den 
von yD freien Thcil des Ausdruckes 
rechts bezüglich gleich q und xf>, so zer 
fällt die Gleichung in zwei andere, welche 
dann die entsprechenden zweiten Glei 
chungen: — = — oder — = —identisch 
r s r s 
machen, so dass diese letzteren nicht 
weiter zu betrachten sind. — Im Falle 
der Gleichungen 4) ist nun, wenn man 
Wenn Gleichungen 4) stattfinden, setzen für £i = ii die 0 b,Ven Werthe setzt: 
wir: p q 
q +ipyD = 
aX-\-bv-\- t^yD afx-\-bq+qyD 
a ~ b+yi) 
oder im Falle der Gleichungen 5): 
, ,/r: al+bv — vyD a/u+bq—^yi) 
* + *y°= a =~b~ + yi) ’ 
aber in beiden Fällen: 
q 2 -xp*D = ?-^ = 1, 
pr 
denn, wenn man die Werthe von p, r, 
p v , Ty vergleicht, so sieht man, dass 
im Falle wo 
q+xpyW=^ 
ist, 
q — xfÌD - 
und, wenn 
q + xp/ D 
q.-xpyi) = V -± 
sein muss. Die zwei Ausdrücke in je 
dem Falle mit einander multiplicirt, ge 
ben aber das obige Resultat. — Durch 
Sondern des rationalen und irrationalen 
Theiles erhält man noch im Falle der 
Gleichungen 4): 
al-\-bv — aq, yzzaxp, a/x-\-bq = bq-\-Dxp, q = q.-\-bip, 
oder wenn die Gleichungen 5 gelten: 
aX-\-bu — a—q, ¡/=—axp, a/u+bq = bq-\-Dxp, Q-—{q-\-bxjJ). 
Aus der ersten Reihe von Gleichungen ergibt sich: 
X — q—bxp, /u=—cxp, v = axp, q = q,-\-bxp, 
also 
Xq—[iv — 7'* — Dxp 2 =1, 
wie dies auch sein muss. 
Die zweite Reihe von Gleichungen dagegen würde geben; 
, r 2bq, , D+b 2 
X = q-\-bxp, p- xp, y=—axp, q=—q—bxp, 
also 
Xq—ftv— — {q 2 —Dxp 2 ) — —1. 
Da aber die Aec 
sein soll, ist di 
also die Gleich 
werfen. 
Die Gleichung 
q. 2 
wird gewöhnlich 
genannt. 
6) Sei jetzt cd 
liehe Faktor voi 
sich zeigen, dass 
Zahlen zu mach« 
wendig und ans 
ux q und unp gi 
soll jetzt bewies« 
Abschnitt 5) 
q — X- 
u - 
» 
Da die Ausdrüc 
meinschaftlichen 
wenn q — X, fx v 
kein Bruch sein. 
Sei jetzt 
eine ganze Zahl, 
x»X 
also auch mq> e 
Q—X, /u, v der 
Bedingung ist a 
aber auch ausrei« 
hat mar 
oder 
Da - 
M 
auch 
«i = 
also, wenn jetzt f 
u(t—hu)—c 
o, — 
xo 
7) Sei jetzt: 
ax 2 +2 
d. h. es sollen a 
sein, welche di< 
Man sagt dann, 
(a, b, c) dargstellt 
ben x und y kei