Quadraturen — Zurückf. auf. 550 Quadraturen — Zurückf. auf. 
16) 
womit zu verbinden ist: 
du — 0, dk — — du , 
s ’ s du 
17) 
p — n 
dx ——Zu dk = Z 
d X 
u n du 
~ ~ p =1 P P 
Die ersten Gleichungen 16) zeigen, dass sämmtliche u constant zu setzen sind, 
die letzten in Verbindung mit 17) geben: 
s dx 
d x n 
J du 
s z 
(“4) 
wo die rechte Seite nur die Variable x renzialgleichungen gegen die allgemeine 
enthält. Nach der Integration kann man ^n Pfaff gestdlte Aufgabe wesentliche 
«titt ДР.Г « wieder ihr« Чп V Vortheile habe, dass nämlich m diesem 
Falle von allen von Pfaff verlangten 
Systemen von Differenzialgleichungen 
die Integration des ersten Systems zur 
Lösung der Aufgabe hinreicht. (Hinge 
wiesen wurde der grosse Mathematiker 
hierauf durch eine Arbeit von Hamilton, 
statt der u wieder ihre in x lf x 
x ausgedrückten Werthe nehmen. 
12) Historisches über die par 
tiellen Differenzialgleichungen 
erster Ordnung. 
Lagrange hat zuerst den Zusammen- welcher die mechanischen Aufgaben auf 
hang zwischen partiellen Differenzialglei- die Lösung der partiellen Differenzial- 
chungen und Systemen gleichzeitiger gleichungen zurückgeführt hat. In Ilamil- 
Differcnzialgleichungen gezeigt, zunächst ton’s Formeln ist allerdings dies Resultat 
für die linearen durch einVerfahren, welches zum Theil enthalten, ohne dass jedoch 
ihm aber später die nöthigen Hülfsmittel derselbe hiervon irgendwie Kcnntniss 
gab, das allgemeine Integeal einer par- genommen.) 
tiellen Differenzialgleichung mit 2 unab- Die Theorie des successiven Integri- 
hängigen Variablen zu ermitteln. Auch rens und der daraus zu schöpfenden 
fand Lagrange den Zusammenhang zwi- Vortheile ist in ihren Resultaten in 
sehen dem allgemeinen und dem voll- einem Briefe an den Secretär der Ber- 
ständigen Integral. (Siehe Theorie de liner Academie (abgedruckt in Bd. 17 
fonclions analyliques). des Crelle’schen Journals) angegeben. 
Die Zurückführung einer Gleichung Diese Resultate enthalten zugleich die 
mit beliebig viel unabhängigen Varia- wirkliche Erweiterung der Methode von 
bien auf totale Differenzialgleichungen Lagrange. 
machte lange Zeit die grössten Schwie- Die eigentliche Arbeit Jakob i’s hier- 
rigkeiten, bis dieselbe Pfaff vollführte über ist aber erst lange nach seinem 
(Abhandlungen der Berliner Akademie Tode (Grelle, Bd. 59) veröffentlicht, 
für das Jahr 1814). Er ging von einer Schon vor dieser Veröffentlichung hat 
totalen Differenzialgleichung mit mehr der Verfasser dieses Wörterbuchs die 
als 2 Variablen aus, eine Methode, an ursprünglich Pfaff’sche Methode zur Er- 
die wir auch hier angeknüpft haben, da langung der Jakobi’schen Resultate und 
sie uns die natürlichste und einfachste zu ihrer Erweiterung auf die totalen Dif- 
zu sein scheint. ferenzialgleichungen eingeschlagen (Grelle, 
Jedoch war Pfaff’s Methode nicht Bd. 58). Diesem Wege ist man auch 
eigentlich die Erweiterung der von La- hier gefolgt, da er eine grössere Kürze 
grange, obgleich eine ihr nahe verwandte, gestattet, als die andern Methoden, 
und es liess sich nicht leugnen, dass für Was die Theorien anbetrifft, die sich 
den specieilen Fall von 2 unabhängigen aus dem gleichzeitigen Bekanntsein zweier 
Variablen die Lagrange’sche Methode Integrale ergeben, so schöpft Jakobi die 
wesentliche Vortheile hatte. Jakobi hatte hier gegebenen Resultate aus einer von 
schon früher versucht, die Lagrange’sche Poisson zu ganz andern Zwecken ver- 
Methode zu erweitern, ohne von den wandten Formel, welche der Formel 3) 
totalen Differenzialgleichungen auszu- des vorigen Abschnittes entspricht. — 
gehen (Grelle, Bd. 2). Endlich gelang Noch ist eine Methode zur Auflösung 
es ihm (Grelle, Bd. 17), zu zeigen, dass der allgemeinen partiellen Differenzial- 
der besondere Fall der partiellen Diffe- gleichungen erster Ordnung von Cauchy